Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=ax+\frac{b}{x}[/tex]
[tex]a,b >0[/tex]
[tex]x \neq 0[/tex]
Pochodna:
[tex]$f'(x)=a-\frac{b}{x^{2}}[/tex]
Funkcja jest malejąca, jeżeli [tex]f'(x)<0[/tex] :
[tex]$a-\frac{b}{x^{2}} <0[/tex]
[tex]ax^{2}-b<0[/tex]
Dzielimy przez [tex]a[/tex], pamiętając, że [tex]a>0[/tex] :
[tex]$x^{2}-\frac{b}{a} <0[/tex]
[tex]$\Bigg(x-\sqrt{\frac{b}{a} } } \Bigg)\Bigg(x+\sqrt{\frac{b}{a} } } \Bigg)<0[/tex]
[tex]$x \in \Bigg(-\sqrt{\frac{b}{a} } } ,0\Bigg) \cup \Bigg(0,\sqrt{\frac{b}{a} } } \Bigg)[/tex]
Podając maksymalny przedział monotoniczności możemy domknąć nawiasy, a zatem funkcja jest na pewno malejąca w przedziale:
[tex]$x \in \Bigg(0,\sqrt{\frac{b}{a} } } \Bigg \rangle[/tex]
Teraz musielibyśmy analogicznie rozwiązać nierówność [tex]f'(x)>0[/tex], jednak łatwo wywnioskować, że jej rozwiązaniem będzie:
[tex]$x \in \Bigg (-\infty,\sqrt{\frac{b}{a} } } \Bigg) \cup \Bigg(\sqrt{\frac{b}{a} } } ,\infty \Bigg)[/tex]
Tak samo jak poprzednio wnioskujemy, że funkcja jest na pewno rosnąca w przedziale:
[tex]$x \in \Bigg\langle\sqrt{\frac{b}{a} } } ,\infty \Bigg)[/tex]
co kończy dowód.
Ekstremum:
[tex]$f'(x)=0 \iff x=-\sqrt{\frac{b}{a} } } \vee x =\sqrt{\frac{b}{a} } }[/tex]
Z powyższych rozważań wyciągamy wniosek:
Funkcja [tex]f[/tex] osiąga minimum lokalne dla [tex]$x = \sqrt{\frac{b}{a} } }[/tex] równe:
[tex]$f\Bigg(\sqrt{\frac{b}{a} } } \Bigg)=a \cdot \sqrt{\frac{b}{a} } } +\frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a} } } } =2\sqrt{ab}[/tex]
