Odpowiedź:
Wykres w załączniku.
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-x+2&dla&x\leq-1\\3&dla&x>-1\end{array}\right[/tex]
Pierwsza część funkcji, to funkcja liniowa. Wystarczą nam dwa punkty z jej dziedziny.
Wybieram x = -2 i x = -1.
[tex]f(-2)=-(-2)+2=2+2=4\to(-2,\ 4)\\f(-1)=-(-1)+2=1+2=3\to(-1,\ 3)[/tex]
Druga część funkcji, to też funkcja liniowa, ale stała.
Przykładowe punkty:
[tex](0,\ 3),\ (4,\ 3)[/tex]
Obliczamy granice:
[tex]\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}(-x+2)=-(-1)+2=1+2=3\\\\\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}3=3\\\\\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\Rightarrow \lim\limits_{x\to-1}=3[/tex]
Granica istnieje i wynosi 3.
Czy jeśli dla pierwszego przypadku jest [tex]\leq[/tex], to zmienia to coś w zadaniu w porównaniu gdyby był zwykły znak mniejszości < ?
TAK. Wówczas dziedziną tej funkcji byłby cały zbiór liczb rzeczywistych oprócz -1
[tex]\left(D:x\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}\right)[/tex]
Dla x = -1 funkcja nie byłaby określona i nie przyjmowała by wartości.
Na wykresie byłby to puste kółeczko w punkcie (-1, 3).
