3x^2+y^2-6x+4y+7=a
3x^2-6x+y^2+4y=a-7
3(x^2-2x)+y^2+4y=a-7
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
(y+2)^2 = y^2 + 4y + 4
3(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 4y + 4 - 4) = a - 7
3((x-1)^2 - 1) + ((y+2)^2 - 4) = a - 7
3(x-1)^2 - 3 + (y+2)^2 - 4 = a - 7
3(x-1)^2 + (y+2)^2 = a
3(x-1)^2 >= 0
(y+2)^2 >= 0
a >= 0
Korzystam tutaj z własności liczb rzeczywistych, że każda liczba podniesiona do kwadratu nie może być mniejsza niż zero. co za tym idzie a także nie może być mniejsze od zera.
Czyli równanie jest sprzeczne dla a < 0