Pierwsza prędkość kosmiczna, to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się satelitą planety.
Możemy ją obliczyć stosując prawo powszechnej grawitacji.
Aby ciało poruszało się po okręgu, musi na nie działać siła dośrodkowa, której wartość wynosi:
[tex]F_{d} = \frac{mv^{2}}{r}[/tex]
Siłę dośrodkową stanowi w tym przypadku siła grawitacji:
[tex]F_{g} = G\frac{Mm}{r^{2}}[/tex]
gdzie:
m - masa ciała
M - masa planety
v - prędkość
r - promień okręgu
G - stała grawitacji
[tex]F_{d} = F_{g}\\\\\frac{mv^{2}}{r} = G\frac{Mm}{r^{2}}[/tex]
1) Jeżeli ciało będzie się poruszało tuż nad powierzchnią planety, wtedy promień r będzie w przybliżeniu równy promieniowi planety R.
Wtedy zależność zapisujemy:
[tex]\frac{mv^{2}}{R}=G\frac{Mm}{R^{2}} \ \ /:m\\\\\frac{v^{2}}{R} = G\frac{M}{R^{2}} \ \ /\cdot R\\\\v^{2}=G\frac{M}{R} \ \ /\sqrt{}\\\\\boxed{v_{I} = \sqrt{G\frac{M}{R}}}[/tex]
2) Jeżeli ciało będzie się poruszało po orbicie na wysokości h nad planetą, wtedy promień r będzie równy R+h, czyli:
[tex]\boxed{v_{I} = \sqrt{G\frac{M}{R+h}}}[/tex]
