[tex]a_n=\frac{n^2-n}{2+4+...+2n}[/tex]
Zacznijmy od uproszczenia mianownika. Jest to suma ciągu arytmetycznego o
[tex]a_1=2[/tex]
[tex]a_n=2n\\r=2[/tex]
Suma ta wynosi
[tex]S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n=\frac{2+2n}{2}*n=(1+n)*n=n^2+n[/tex]
Przechodzimy do granicy
[tex]\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n}{2+4+...+2n}= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n}{n^2+n}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1-\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=1[/tex]
