Działania na potęgach o wykładniku naturalnym.
Definicja potęgi o wykładniku naturalnym:
[tex]a^2=a\cdot a\\a^3=a\cdot a\cdot a\\a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a\\\vdots\\a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n}\\\\n\in\mathbb{N^+}[/tex]
ponadto
[tex]a^1=a\\\\a^0=1[/tex]
Twierdzenia:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\ \qquad a\neq0[/tex]
[tex](a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n[/tex]
========================================
Na podstawi twierdzeń rozwiązujemy zadania sprowadzając potęgi do tej samej podstawy pamiętając o tym, że:
- potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym daje nam wynik dodatni;
- potęga liczby ujemnej o wykładniku nieparzystym daje nam wynik ujemny;
- mnożąc/dzieląc parzystą ilość liczb ujemnych otrzymujemy wynik dodatni;
- mnożąc/dzieląc nieparzystą ilość liczb ujemnych otrzymujemy wynik ujemny;
- mnożąc/dzieląc dwie liczby z tym samym znakiem otrzymujemy wynik dodatni;
- mnożąc/dzieląc dwie liczby z tym różnymi znakami otrzymujemy wynik ujemny;
- przykład: (-2)² = (-2) · (-2) = 4 ale -2² = -2 · 2 = -4.
Zadania:
[tex]a)\ 2^6\cdot(-2)^3:(-2)^7=2^6\cdot(-1\cdot2)^3:(-1\cdot2)^7=2^6\cdot(-1)^3\cdot2^3:[(-1)^7\cdot2^7]\\\\=2^6\cdot(-1)\cdot2^3:(-1\cdot2^7)=\dfrac{-1\cdot2^{6+3}}{-1\cdot2^7}=\dfrac{2^9}{2^7}=2^{9-7}=2^2=4[/tex]
[tex]b)\ \dfrac{5^7\cdot(-5)^{23}}{5^{13}\cdot(-5)^{17}}=\dfrac{5^7\cdot(-5)^{23-17}}{5^{13}}=\dfrac{5^7\cdot(-5)^6}{5^{13}}=\dfrac{5^7\cdot5^6}{5^{13}}=\dfrac{5^{13}}{5^{13}}=1[/tex]
[tex]c)\ \dfrac{(-7)^{10}}{7^7\cdot(-7)}=\dfrac{7^{10}}{-7^7\cdot7}=-\dfrac{7^{10}}{7^{7+1}}=-\dfrac{7^{10}}{7^8}=-7^2=-49[/tex]
[tex]d)\ \dfrac{(-0,2)^3\cdot0,2^4\cdot(-0,2)^3}{-(-0,2^4\cdot0,2^6)}=\dfrac{(-0,2)^{3+3}\cdot0,2^4}{0,2^4\cdot0,2^6}=\dfrac{(-0,2)^6\cdot0,2^4}{0,2^{4+6}}\\\\=\dfrac{0,2^6\cdot0,2^4}{0,2^{10}}=\dfrac{0,2^{6+4}}{0,2^{10}}=\dfrac{0,2^{10}}{0,2^{10}}=1[/tex]
[tex]e)\ 27\cdot3^{10}:3^8=3^3\cdot3^{10}:3^8=3^{3+10-8}=3^5=243[/tex]
[tex]f)\ 125\cdot5^7:5^9=5^3\cdot5^7:5^9=5^{3+7-9}=5^1=5[/tex]
