1) Najpierw przekształcamy do postaci "e do potęgi..".
[tex]\lim_{x\to-\infty}(\frac{arcctgx}{\pi})^{x}=[1^{\infty}]=\lim_{x\to-\infty}e^{xln(\frac{arcctgx}{\pi})}=\\\\=e^{\lim_{x\to-\infty}xln(\frac{arcctgx}{\pi})}[/tex]
2) Dochodząc do tego momentu liczymy na boku granicę z wykładnika i na końcu ją wstawiamy z powrotem.
W trakcie liczenia granicy wykorzystujemy po drodze twierdzenie de l'Hospitala, bo spełnione są jego założenia oraz korzystamy z tego, że granica z arcctg przy x → -∞ wynosi π.
[tex]\\\\\\\\\lim_{x\to-\infty}xln(\frac{arcctg}{\pi})=[\infty*0]=\lim_{x\to-\infty}\frac{ln(\frac{arcctg}{\pi})}{\frac{1}{x}}=[\frac{0}{0}]\stackrel{H}{=}\lim_{x\to-\infty}\frac{(ln(\frac{arcctg}{\pi}))'}{(\frac{1}{x})'}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{\pi}{arcctgx}*\frac{1}{\pi}*\frac{-1}{x^2+1}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{(x^2+1)arcctx}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x^2(1+\frac{1}{x^2})arcctgx}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{x^2})arcctgx}=\frac{1}{\pi}[/tex]
3) Na końcu nie zapominamy wstawić wyniku do wykładnika z początkowych przekształceń.
[tex]e^{\lim_{x\to-\infty}xln(\frac{arcctgx}{\pi})}=e^{\frac{1}{\pi}}[/tex]
(-_-(-_-)-_-)
