a, a+r, a+2r - boki trójkąta
Wyznaczam r
[tex]a+a+r+a+2r=30\\\\3a+3r=30 \ \ \ |:3\\\\a+r=10\\\\r=10-a[/tex]
Obliczam a
[tex](a+2r)^2=a^2+(a+r)^2-2a(a+r)cos 120^o\\\\(a+2(10-a))^2=a^2+10^2-2a\cdot10 cos(90^o+30^o)\\\\(a+20-2a)^2=a^2+100+20a sin30^o\\\\(20-a)^2=a^2+100+20a\cdot\frac{1}{2}\\\\400-40a+a^2=a^2+100+10a\\\\-40a+a^2-a^2-10a=100-400\\\\-50a=-300\ \ \ |:(-50)\\\\a=6[/tex]
Obliczam r
r=10-a
r=10-6
r=4
Boki trójkąta
a=6
b=a+r=10
c=a+2r=6+2·4=6+8=14
Obliczam promień okręgu opisanego
[tex]\frac{c}{sin120^o}=2R\\\\2R=\frac{14}{sin(90^o+30^o)}\\\\2R=\frac{14}{cos30^o}\\\\2R=\frac{14}{\frac{\sqrt 3}{2}}}\\\\2R=\frac{28}{\sqrt3}\\\\2R=\frac{28\sqrt3}{3}\ \ \ |:2\\\\R=\frac{14\sqrt3}{3}[/tex]
Obliczam promień okręgu wpisanego w trójkąt
[tex]r_1=\frac{2P_{\Delta}}{a+b+c}\\\\r_1=\frac{2\cdot0,5 ab sin120^o}{a+b+c}\\\\r_1=\frac{6\cdot10\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{30}\\\\r_1=\sqrt3[/tex]
Obliczam stosunek długości promieni
[tex]\frac{R}{r_1}=\frac{\frac{14\sqrt3}{3}}{\sqrt3}=\frac{14}{3}[/tex]
