Odpowiedź:
[tex]X=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} &\frac{9}{16} \\1&-\frac{5}{8} \end{array}\right][/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&2\end{array}\right] ^{T} \cdot 2X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right][/tex]
Przekształcamy do macierzy [tex]X[/tex]. Odpowiadając na pytanie - stałą przy macierzy [tex]X[/tex] możemy zapisać jako [tex]2I[/tex] tj. :
[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&2\end{array}\right] ^{T} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\end{array}\right] \cdot X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right][/tex]
Najpierw transpozycja:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&2\end{array}\right] ^{T}=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&2\end{array}\right][/tex]
Mnożenie:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right][/tex]
Zatem:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right] \cdot X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right][/tex]
[tex]X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right]^{-1} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right][/tex]
Skorzystamy ze wzoru:
Jeżeli [tex]A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right][/tex] i [tex]ad-bc\neq 0[/tex], to:
[tex]$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \cdot \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right][/tex]
Mamy:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right]^{-1} =\frac{1}{16} \left[\begin{array}{ccc}4&-2\\0&4\end{array}\right][/tex]
Wstawiamy:
[tex]X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]=\frac{1}{16} \left[\begin{array}{ccc}4&-2\\0&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{8} &-\frac{1}{2} \\\frac{3}{4} &1\end{array}\right][/tex]
Dalej mamy:
[tex]X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{8} &-\frac{1}{2} \\\frac{3}{4} &1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]^{-1}[/tex]
Ponownie korzystamy ze wzoru podanego wyżej:
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]^{-1}=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\-2&2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&-2\end{array}\right][/tex]
Ostatecznie:
[tex]$X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{8} &-\frac{1}{2} \\\frac{3}{4} &1\end{array}\right] \cdot \frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} &\frac{9}{16} \\1&-\frac{5}{8} \end{array}\right][/tex]
