Szczegółowe wyjaśnienie:
Jako, że kąt [tex]\alpha[/tex] jest ostry, to zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
1. Korzystając z tożsamości trygonometrycznych:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1\\\\\text{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\text{ctg}x=\dfrac{1}{\text{tg}x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}[/tex]
2. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym oraz z twierdzenia Pitagorasa.
g) rozwiążę pierwszym sposobem, a h) drugim.
[tex]g)\ \text{tg}\alpha=\dfrac{4}{5}\to\huge\boxed{\text{ctg}\alpha=\dfrac{5}{4}}\\\\\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{4}{5}\qquad|\cdot\cos\alpha\neq0\\\\\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\cos\alpha\qquad(*)[/tex]
podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:
[tex]\left(\dfrac{4}{5}\cos\alpha\right)^2+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{16}{25}\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{16}{25}\cos^2\alpha+\dfrac{25}{25}\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{41}{25}\cos^2\alpha=1\qquad|\cdot\dfrac{25}{41}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{25}{41}\to\cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{25}{41}}\\\\\cos\alpha=\pm\dfrac{5}{\sqrt{41}}\cdot\dfrac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}\\\\\cos\alpha=\pm\dfrac{5\sqrt{41}}{41}\\\\\huge\boxed{\cos\alpha=\dfrac{5\sqrt{41}}{41}}[/tex]
(wybrałem tylko wartość dodatnią, bo kąt jest ostry, a wszystkie funkcje trygonometryczne kąta ostrego przyjmują wartość dodatnią)
podstawiamy do [tex](*)[/tex]
[tex]\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5\sqrt{41}}{41}\\\\\huge\boxed{\sin\alpha=\dfrac{4\sqrt{41}}{41}}[/tex]
[tex]h)\ \text{tg}\alpha=2,4=\dfrac{24}{10}=\dfrac{12}{5}[/tex]
patrz załącznik
[tex]a=12,\ b=5[/tex]
z twierdzenia Pitagorasa mamy:
[tex]c^2=12^2+5^2\\\\c^2=144+25\\\\c^2=169\to c=\sqrt{169}\\\\c=13[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\huge\boxed{\sin\alpha=\dfrac{12}{13}}\\\boxed{\cos\alpha=\dfrac{5}{13}}\\\boxed{\text{ctg}\alpha=\dfrac{5}{12}}[/tex]
