Odpowiedź:
[tex]|SP|=2\sqrt5[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początek policzmy długość |AS|.
[tex]|AS|^2=|ST|^2+|AT|^2\\|AS|^2=5^2+(2\frac{1}{2})^2\\|AS|^2=25+\frac{25}{4}\\|AS|^2=31\frac{1}{4}\\|AS|=\sqrt{31\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5\sqrt5}{2}[/tex]
Trójkąt SOP jest równoramienny, bo jego dwoma ramionami (SO i OP) są promienie okręgu wpisanego w kwadrat. Zatem odcinek SR jest połową odcinka SP. Wystarczy zatem wyznaczyć długość odcinka SR.
Zauważmy, że trójkąty SRO i STA są podobne z cechy kkk, bo oba są prostokątne i mają kąt wspólny przy wierzchołku S. Zatem
[tex]\frac{|SR|}{|ST|}=\frac{|SO|}{|AS|}\\\frac{|SR|}{5}=\frac{2\frac{1}{2}}{\frac{5\sqrt5}{2}}\\\frac{|SR|}{5}=\frac{5}{2}*\frac{2}{5\sqrt5}\\\frac{|SR|}{5}=\frac{1}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\\|SR|=\sqrt5\\|SP|=2|SR|=2\sqrt5[/tex]
