Odpowiedź :
Zadanie 1.
[tex]f(x)=x^3-3x^2+9x-13\\P=(1,-6)[/tex]
Policzmy pochodną funkcji f.
[tex]f'(x)=3x^2-6x+9[/tex]
Będziemy szukać stycznej postaci
[tex]y=ax+b[/tex]
Współczynnik kierunkowy a jest równy wartości pochodnej w punkcie P, więc
[tex]a=f'(1)=3*1^2-6*1+9=3-6+9=6[/tex]
Policzmy brakujące b z informacji, że styczna przechodzi przez punkt P.
[tex]-6=6*1+b\\-6=6+b\\b=-12[/tex]
Ostatecznie styczna to
[tex]y=6x-12[/tex]
Zadanie 2.
[tex]f(x)=2x^4-8x\\<0,2>[/tex]
Policzmy pochodną funkcji f.
[tex]f'(x)=8x^3-8[/tex]
Sprawdźmy, czy funkcja f osiąga ekstremum lokalne w przedziale <0,2>.
[tex]f'(x)=0[/tex]
[tex]8x^3-8=0\ |:8\\x^3-1=0\\x^3=1\\x=1[/tex]
[tex]f'(x)>0\\8x^3-8>0\ |:8\\x^3-1>0\\(x-1)(x^2+x+1)>0\\\Delta=1^2-4*1*1=1-4=-3<0[/tex]
Drugi nawias nie ma miejsc zerowych i jest zawsze dodatni, więc
[tex]f'(x)>0\Leftrightarrow x>1\\f'(x)<0\Leftrightarrow x<1[/tex]
W x=1 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc w x=1 jest minimum lokalne wynoszące
[tex]f(1)=2*1^4-8*1=2-8=-6[/tex]
Znaleźliśmy wartość minimalną w przedziale <0,2>. Wartości maksymalnej poszukamy na krańcach przedziału.
[tex]f(0)=2*0^4-8*0=0\\f(2)=2*2^4-8*2=32-16=16[/tex]
Zatem wartość maksymalna w tym przedziale to 16.
Ostatecznie
[tex]f_{min}=-6\\f_{max}=16[/tex]
