Odpowiedź:
[tex]V=2\frac{10}{27}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zacznijmy od wyznaczenia długości |DP| w zależnosci od a z tw. Pitagorasa.
[tex]|DP|^2=|CD|^2+|CP|^2\\|DP|^2=a^2+(\frac{a}{2})^2\\|DP|^2=a^2+\frac{a^2}{4}\\|DP|^2=\frac{5a^2}{4}\\|DP|=\frac{a\sqrt5}{2}[/tex]
Ponownie korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta HDP.
[tex]|HD|^2+|DP|^2=|HP|^2\\a^2+\frac{5a^2}{4}=4\ |*4\\4a^2+5a^2=16\\9a^2=16\ |:9\\a^2=\frac{16}{9}\\a=\frac{4}{3}[/tex]
Zatem objętość sześcianu to
[tex]V=a^3=(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}=2\frac{10}{27}[/tex]
