Odpowiedź :
Najpierw należy wykonać dzielenie pisemne W(x) przez P(x).
KROK 1.
Zapisujemy symbolicznie dzielenie wielomianu W(x) przez wielomian P(x). Oba wielomiany umieszczamy w nawiasach. Po "=" zostawiamy miejsce na wynik dzielenia.
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = \end{array}[/tex]
KROK 2.
Dzielimy najwyższą potęgę dzielnej (czyli [tex]x^4[/tex]) przez najwyższą potęgę dzielnika (czyli [tex]x^2[/tex]). Wynik tego dzielenia zapisujemy po znaku "=".
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = x^2 \end{array}[/tex]
KROK 3.
Otrzymany wynik mnożymy przez każdy składnik dzielnika i to, co wyjdzie, podpisujemy pod odpowiednią potęgą dzielnej (potęgę 4 pod potęgą 4, potęgę 3 pod potęgą 3 itd.), jednocześnie zmieniając znaki na przeciwne ("+" na "-", a "-" na "+").
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = x^2 \\-x^4 - x^3\quad \quad\ -x^2\\\end{array}[/tex]
KROK 4.
Podkreślamy poziomą linią i wykonujemy odejmowanie. W przypadku 0 dla przejrzystości zapisujemy "=". W przypadku [tex]x^2[/tex] dodatkowo wyciągnąłem [tex]x^2[/tex] poza nawias.
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = x^2 \\\underline{-x^4 - x^3\quad \quad\ -x^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad} & & \\\quad=\quad =\quad(m-1)x^2 \end{array}[/tex]
KROK 5.
Opuszczamy kolejne składniki dzielnej, kierując się zasadą, że opuszczamy ich tyle, ile wynosi stopień dzielnika (w tym zadaniu stopień dzielnika to 2, więc opuszczamy 2 kolejne składniki dzielnej).
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = x^2 \\\underline{-x^4 - x^3\quad \quad\ -x^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad} & & \\\quad=\quad =\quad(m-1)x^2 \quad-4x \qquad \qquad\quad+n \end{array}[/tex]
KROK 6.
Dzielimy najwyższą potęgę wyrażenia pod kreską (czyli [tex](m-1)x^2[/tex])przez najwyższą potęgę dzielnika. Wynik dopisujemy na górze po znaku "=".
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = x^2 + (m-1) \\\underline{-x^4 - x^3\quad \quad\ -x^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad} & & \\\quad=\quad =\quad(m-1)x^2 \quad-4x \qquad \qquad\quad+n \end{array}[/tex]
KROK 7.
Postępujemy analogicznie jak w kroku 3.
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = x^2 + (m-1) \\\underline{-x^4 - x^3\quad \quad\ -x^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad} & & \\\quad=\quad =\quad(m-1)x^2 \quad-4x \qquad \qquad\quad+n & & \\\qquad \quad\quad-(m-1)x^2 - (m-1)x\quad\quad-(m-1)\quad\end{array}[/tex]KROK 8.
Postępujemy analogicznie jak w kroku 4.
[tex]\begin{array}{lll}{(x^4 +x^3 \quad \quad +mx^2 \quad\ -4x \quad\quad\qquad\quad+ n) & : & (x^2+x+1) = x^2 + (m-1) \\\underline{-x^4 - x^3\quad \quad\ -x^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad} & & \\\quad=\quad =\quad(m-1)x^2 \quad-4x \qquad \qquad\quad+n & & \\\qquad \quad\quad\underline{-(m-1)x^2 - (m-1)x+\quad\quad-(m-1)\quad} & &\\\qquad \qquad \qquad =\quad\quad - 4x -(m-1)x+ n-(m-1) & & \\\end{array}[/tex]UWAGA: Czynności te wykonujemy, aż stopień wyrażenia pod kreską będzie mniejszy od stopnia dzielnika. W naszym przypadku dzielenie jest zakończone, bo stopień wyrażenia pod kreską to 1, a stopień dzielnika 2.
Z tego dzielenia pozostała reszta widoczna pod poziomą kreską.
Uprośćmy ją trochę.
[tex]-4x-(m-1)x+n-(m-1)=-4x-mx+x+n-m+1=(-4-m+1)x+(n-m+1)=(-3-m)x+(n-m+1)[/tex]
Współczynnik przy x i wyraz wolny umieściłem w nawiasach, aby były bardziej przejrzyste.
Skoro wielomian W(x) ma być podzielny przez wielomian P(x), to ta reszta musi się równać 0. To znaczy, że współczynnik przy x i wyraz wolny reszty muszą się równać 0. Zapiszemy to w postaci układu równań i rozwiążemy ten układ.
[tex]\left \{ {{-3-m=0} \atop {n-m+1=0}} \right. \\\left \{ {{-m=3\ |:(-1)} \atop {n-m+1=0}} \right. \\\left \{ {{m=-3} \atop {n-(-3)+1=0}} \right. \\\left \{ {{m=-3} \atop {n+4=0}} \right. \\\left \{ {{m=-3} \atop {n=-4}} \right.[/tex]
Ostatecznie m = -3, a n = -4.
