Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli w punktach ekstremum oraz w sąsiedztwie lewostronnym i prawostronnym punktu ekstremum funkcja f(x) jest ciągła jest ciągła, to w punkcie ekstremum f'(x) = 0 - ponieważ w interpretacji geometrycznej, pochodna funkcji jest równa tgα tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji, kąta między styczną a dodatnim kierunkiem osi 0x+, tg ∢ [Ls, 0x+] . W punkcie ekstremum styczna do wykresu jest równolegla do osi 0x, f'(x) = tg0 = 0, gdy funkcja jest rosnąca to kąt α jest ostry to to f'(x) = tgα > 0, dla funkcji malejacej kąt α jest rozwarty (II ćwiartka) to f'(x) = tgα < 0.
W tzw. punktach ekstremum ostrzowych, styczna w punkcie w ogóle nie da się określić, wtedy należy badać lewe sąsiedztwo i prawe sąsiedztwo i z tego badać, czy to jest minimum czy maksimum punktu ostrzowego.
Dlaczego w punktach ekstremalnych pochodna zmienia znak?
Częściowo już wyjaśniłem, pochodna funkcji trzeba ściśle wiązać z tangensem kąta nachylenia stycznej - jak styczna zmienia kąt nachylenia z ostrego (dla funkcji rosnącej) na rozwarty (dla funkcji malejącej, to f'(x) = tgα zmienia znak z dodatniego na ujemny a w ekstremum jest równy 0 dla stycznej równoległej do osi 0x.