Odpowiedź :
W funkcji opisanej wzorem [tex]f(x) = x^2 - 2mx - m + 2[/tex]:
- [tex]a_1 = 1[/tex]
- [tex]b_1 = -2m[/tex]
- [tex]c_1 = -m + 2[/tex]
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy [tex]\Delta > 0[/tex].
Do wzoru na wyróżnik podstawiam odpowiednie wartości:
[tex]\Delta_1 = {b_1}^2 - 4a_1c_1 = \left( -2m \right) ^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left( -m + 2 \right) = 4m^2 + 4m - 8[/tex]
Mamy kolejną funkcję kwadratową, opisaną wzorem [tex]f(m) = 4m^2 +4m - 8[/tex]. Musimy obliczyć, dla jakiego [tex]m[/tex] spełniony jest warunek [tex]f(m) > 0[/tex].
[tex]\Delta_2 = {b_2}^2 - 4a_2c_2 = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot \left(-8) = 16 + 128 = 144[/tex]
[tex]m_1 = \frac{-b_2 - \sqrt{\Delta_2} }{2a_2} = \frac{-4 - 12}{8} = -2[/tex]
[tex]m_2 = \frac{-b_2+\sqrt{\Delta_2} }{2a_2} = \frac{-4+12}{8}=1[/tex]
[tex]f(m) > 0 \iff m \in \left( - \infty;\ -2 \right) \cup \left( 1;\ \infty\right)[/tex]
Czyli:
- Dla [tex]m = -2[/tex] funkcja ma jedno miejsce zerowe [tex]x_0 = -2[/tex]
- Dla [tex]m =1[/tex] funkcja ma jedno miejsce zerowe [tex]x_0 = 1[/tex]
- Dla [tex]m \in \left( -2;\ 1 \right)[/tex] funkcja nie ma miejsc zerowych, tj. [tex]x_0 \in \varnothing[/tex]
- Dla [tex]m \in \left( - \infty;\ -2 \right) \cup \left( 1;\ \infty\right)[/tex] funkcja ma 2 miejsca zerowe, ale ponieważ w tym przedziale mieści się nieskończenie wiele liczb, również miejsca zerowe mogą przybierać nieskończenie wiele wartości w zależności od wartości parametru [tex]m[/tex], dlatego nie da się wykonać polecenia "Wyznacz te pierwiastki"
