[tex](1+2+3+...+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{3}[/tex]
1. Sprawdzamy poprawność dla n=1
[tex]L=1^2=1[/tex]
[tex]P=\frac{1^2\cdot(1+1)^2}{4}=\frac{1\cdot2^2}{4}=\frac{4}{4}=1[/tex]
[tex]L=P[/tex]
2. Zakładamy prawdziwość wzoru dla n=k
[tex](1+2+3+...+k)^2=\frac{k^2(k+1)^2}{4}[/tex]
3. Udowadniamy prawdziwość wzoru dla n=k+1
[tex](1+2+3+...+k+1)^2=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex]
[tex]L=(1+2+3+...+k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^2=[/tex]
[tex](1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=[/tex]
[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=[/tex]
[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+2\cdot\frac{1}{2}(1+k)\cdot k(k+1)+(k+1)^2=[/tex]
[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+k(k+1)^2+(k+1)^2=[/tex]
[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^2(k+1)=[/tex]
[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+\frac{4(k+1)^2(k+1}{4})=[/tex]
[tex]\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^2(k+1}{4})=[/tex]
[tex]\frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4})=[/tex]
[tex]\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4})=[/tex]
[tex]\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=P[/tex]
1+2+3+...+k - suma ciągu arytmetycznego
===============
[tex](1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
1. Sprawdzamy poprawność dla n=1
[tex]L=1\cdot2=2[/tex]
[tex]P=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2[/tex]
[tex]L=P[/tex]
2. Zakładamy prawdziwość wzoru dla n=k
[tex]1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}[/tex]
3. Udowadniamy prawdziwość wzoru dla n=k+1
[tex]1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}[/tex]
[tex]L=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+(k+1)(k+2)=[/tex]
[tex]1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=[/tex]
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=[/tex]
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}=[/tex]
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}=[/tex]
[tex]\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}=P[/tex]
