Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}[/tex]
Dziedzina:
[tex]D: x\neq 2[/tex]
Istnienie asymptot pionowych:
[tex]$ \lim_{x \to 2^{-}} f(x)= \lim_{x \to 2^{-}}\frac{x^{2}}{x-2} =\Big[\frac{4}{0^{-}} \Big]=-\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x)= \lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{2}}{x-2} =\Big[\frac{4}{0^{+}} \Big]=\infty[/tex]
Zatem prosta [tex]x=2[/tex] jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji [tex]f[/tex].
Istnienie asymptot poziomych:
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}}{x-2} =\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}}{x\Big(1-\frac{2}{x}\Big)} =\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1-\frac{2}{x}} =-\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x-2} =\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x\Big(1-\frac{2}{x}\Big)} =\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-\frac{2}{x}} =\infty[/tex]
Brak asymptot poziomych.
Istnienie asymptot ukośnych:
[tex]$a=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x-2} =1[/tex]
[tex]$b= \lim_{x \to \pm \infty} (f(x)-ax)= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2}}{x-2} -x= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2}-x^{2}+2x}{x-2} =[/tex]
[tex]$ =\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x}{x-2} =2[/tex]
Zatem prosta [tex]y=x+2[/tex] jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji [tex]f[/tex].
