Rozwiązanie:
[tex]a)[/tex]
[tex]y=2x^{3}-18x , \ y=3x[/tex]
Granice całkowania:
[tex]2x^{3}-18x=3x[/tex]
[tex]2x^{3}-21x=0[/tex]
[tex]x(2x^{2}-21)=0[/tex]
[tex]x(\sqrt{2}x-\sqrt{21})(\sqrt{2}x+\sqrt{21})=0[/tex]
[tex]$x=0 \vee x=\frac{\sqrt{42}}{2} \vee x = -\frac{\sqrt{42}}{2}[/tex]
Zauważmy, że podane krzywe są funkcjami nieparzystymi, więc pole możemy zapisać jako:
[tex]$|P|=2\int\limits^{\frac{\sqrt{42}}{2} }_{0} {3x-2x^{3}+18x} \, dx =2\int\limits^{\frac{\sqrt{42}}{2} }_{0} -2x^{3}+21x \ dx=2\Big(-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{21}{2}x^{2} \Big)\Big|^{\frac{\sqrt{42}}{2} }_{0}=[/tex]
[tex]$=-x^{4}+21x^{2}\Big|^{\frac{\sqrt{42}}{2} }_{0}=-\frac{1764}{16} +\frac{882}{4} =\frac{441}{4}[/tex]
Rysunek sytuacji w załączniku.
[tex]b)[/tex]
[tex]y=x^{2}+5x+6, \ y=2[/tex]
Granice całkowania:
[tex]x^{2}+5x+6=2[/tex]
[tex]x^{2}+5x+4=0[/tex]
[tex](x+4)(x+1)=0[/tex]
[tex]x=-4 \vee x=-1[/tex]
Pole:
[tex]$|P|=\int\limits^{-1}_{-4} {2-x^{2}-5x-6} \, dx =\int\limits^{-1}_{-4}-x^{2}-5x-4 \ dx =-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}-4x\Big|^{-1}_{-4} =[/tex]
[tex]$=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4-\frac{64}{3}+40-16=\frac{9}{2}[/tex]
Rysunek sytuacji w załączniku.
