Odpowiedź:
a) D: x ∈ R \ {0; 2},
b) D: x ∈ R
c) D: ∈ R \ {- 1; 0; 1}
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji
a)
D: x² - 2x ≠ 0 to x(x - 2) ≠ 0 to x ≠ 0 i (x - 2 ≠ 0, to x ≠ 2 ) to
D: x ∈ R \ {0; 2},
[formułę dziedziny D: wypowiemy następująco: iks należy do zbioru liczb rzeczywistych minus (zamiast "minus" możemy powiedzieć "za wyjątkiem") zbiór dwuelementowy: 0 i 2; oczywiste, że w Dziedzinie wykluczyliśmy wartość 0 w mianowniku. Do zbioru liczb rzeczywistych
R należą wszystkie znana nam liczby - nie należą do tego zbioru tylko liczby zespolone (w programie szkoły średniej nie występują liczby zespolone)].
b)
D: x² + x + 5 ≠0, Mamy do rozwiązania równanie kwadratowe postaci ogólnej: ax² + bx + c = 0, gdzie wyróżnik Δ = b² - 4ac; rozwiązania równania są następujące:
x1 = (- b - √Δ)/2a, x2 = (- b + √Δ)/2a;
gdzie x1, x2, oznaczają x ze znaczkiem 1, x ze znaczkiem 2.
to
Δ = 1 - 1•4•5 = 1 - 20 = - 19 < 0; W przypadku, gdy Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązania, dodatkowo to oznacza, że równanie nie ma miejsc zerowych a wykres równania (paraboli) leży nad osią Ox (wykres nie przecina osi Ox).
Do wyznaczenia dziedziny D: to oznacza, że w mianowniku nie wystąpi wartość 0, nie ma więc w Dziedzinie żadnych wykluczeń elementów ze zbioru liczb rzeczywistych R,
z tego powodu ostatecznie D: x ∈ R
c)
D: x³ - 2 - x + 2 = x³ - x = x(x² - 1) ≠ 0 to
x ≠ 0 i (x² - 1 ≠ 0 to x² ≠ 1 to x ≠ - 1 i x ≠ 1) to
x ≠ 0 i x ≠ - 1 i x ≠ 1 , ostatecznie D: ∈ R \ {- 1; 0; 1}