Odpowiedź:
Ostatnia cyfra liczby [tex]3^{27}[/tex] to [tex]7[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
Skorzystamy z bardzo użytecznego narzędzia matematycznego zwanego kongruencjami: będziemy pisać [tex]a\equiv b\pmod{m}[/tex] w sytuacji, gdy liczby [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] dają tę samą resztę przy dzieleniu przez [tex]m[/tex] (lub równoważnie liczba [tex]a-b[/tex] jest podzielna przez [tex]m[/tex]). Kongruencje można dodawać, odejmować i mnożyć stronami, można je również obustronnie podnosić do dowolnej potęgi całkowitej dodatniej. Zauważmy, że zapis [tex]a\equiv b\pmod{10}[/tex] możemy zinterpretować następująco: liczby [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] mają tę samą cyfrę jedności w zapisie dziesiętnym. Mamy kongruencję [tex]3^4\equiv1\pmod{10}[/tex] (ponieważ [tex]3^4=81[/tex] kończy się cyfrą 1). Podnosząc tę kongruencję obustronnie do potęgi szóstej dostajemy [tex]3^{24}\equiv1^6\pmod{10}[/tex], czyli [tex]3^{24}\equiv1\pmod{10}[/tex]. Mnożąc ostatnią kongruencję obustronnie przez [tex]3^3[/tex], czyli [tex]27[/tex], otrzymujemy [tex]3^{27}\equiv27\pmod{10}[/tex]. Liczba [tex]3^{27}[/tex] kończy się więc tą samą cyfrą, co liczba [tex]27[/tex], a więc cyfrą [tex]7[/tex].
