Zadanie 5.
[tex]w(x)=2x^3-6x^2+k^2x-4k+8[/tex]
Wielomian jest podzielny przez dwumian x-k, co oznacza, że k jest pierwiastkiem wielomianu. Zatem
[tex]w(k)=0\\2k^3-6k^2+k^3-4k+8=0\\3k^3-6k^2-4k+8=0\\3k^2(k-2)-4(k-2)=0\\(k-2)(3k^2-4)=0\\(k-2)(\sqrt3k-2)(\sqrt3k+2)=0\\k-2=0\vee \sqrt3k-2=0\vee \sqrt3k+2=0\\k=2\vee k=\frac{2}{\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\vee k=-\frac{2}{\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\\k=2\vee k=\frac{2\sqrt3}{3}\vee k=-\frac{2\sqrt3}{3}\\k\in\{-\frac{2\sqrt3}{3},\frac{2\sqrt3}{3},2\}[/tex]
Zadanie 6.
[tex]w(x)=3x^3+mx^2+nx-8[/tex]
Liczba -2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, co oznacza, że wielomian można zapisać w postaci iloczynowej jako
[tex]w(x)=3(x+2)^2(x-a)[/tex]
gdzie a jest trzecim pierwiastkiem wielomianu.
Wykonajmy działania w powyższej postaci wielomianu.
[tex]w(x)=3(x+2)^2(x-a)=3(x^2+4x+4)(x-a)=3(x^3-ax^2+4x^2-4ax+4x-4a)=3[x^3+(4-a)x^2+(4-4a)x-4a]=3x^3+(12-3a)x^2+(12-12a)x-12a[/tex]
Zauważmy, że dla wyrazu wolnego zachodzi
[tex]-12a=-8\ |:(-12)\\a=\frac{2}{3}[/tex]
Zatem wielomian ma postać
[tex]w(x)=3x^3+(12-3*\frac{2}{3})x^2+(12-12*\frac{2}{3})x-12*\frac{2}{3}=3x^3+10x^2+4x-8[/tex]
Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach, otrzymujemy:
[tex]m=10\\n=4[/tex]
Zadanie 7.
[tex]w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/tex]
Przypadek 1: n - parzyste
[tex]a_n+a_{n-2}+...+a_2+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_3+a_1[/tex]
Liczba -1 ma być pierwiastkiem wielomianu. Policzmy wartość w(-1).[tex]w(-1)=a_n*(-1)^n+a_{n-1}*(-1)^{n-1}+a_{n-2}*(-1)^{n-2}+a_{n-3}*(-1)^{n-3}+...+a_3*(-1)^3+a_2*(-1)^2+a_1*(-1)+a_0=a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-3}+...-a_3+a_2-a_1+a_0=(a_n+a_{n-2}+...+a_2+a_0)-(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_3+a_1)=(a_n+a_{n-2}+...+a_2+a_0)-(a_n+a_{n-2}+...+a_2+a_0)=0[/tex]
Zatem -1 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Przypadek 2: n - nieparzyste
[tex]a_n+a_{n-2}+...+a_3+a_1=a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_2+a_0[/tex]
Liczba -1 ma być pierwiastkiem wielomianu. Policzmy wartość w(-1).
[tex]w(-1)=a_n*(-1)^n+a_{n-1}*(-1)^{n-1}+a_{n-2}*(-1)^{n-2}+a_{n-3}*(-1)^{n-3}+...+a_3*(-1)^3+a_2*(-1)^2+a_1*(-1)+a_0=-a_n+a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-3}+...-a_3+a_2-a_1+a_0=-(a_n+a_{n-2}+...+a_3+a_1)+(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_2+a_0)=-(a_n+a_{n-2}+...+a_3+a_1)-(a_n+a_{n-2}+...+a_3+a_1)=0[/tex]
Zatem -1 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
To kończy dowód.