Odpowiedź:
[tex]\boxed{\bold{a)\ \ a_n=\left(\frac43\right)^{2n-3},\qquad b)\ \ a_n=\big2^{n-1}\,,\qquad c)\ \ a_n=3\cdot\big(\sqrt5\big)^{n-4}}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: [tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex]
a)
[tex]a_1=\frac34\,,\quad a_2=\frac43\\\\q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{\frac43}{\frac34} = \frac43\cdot\frac43=\frac{16}9\\\\\\a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\ \underline{a_n= \frac34\cdot \left(\frac{16}9\right)^{n-1}}\\\\ a_n=\left(\frac43\right)^{-1}\cdot \left(\frac43\right)^{2(n-1)}\\\\ a_n=\left(\frac43\right)^{1+2n-2}\\\\a_n= \left(\frac43\right)^{2n-3}[/tex]
b)
[tex]a_2=2\,,\quad a_7=64\\\\\dfrac{a_7}{a_2}=\dfrac{a_1\cdot q^6}{a_1\cdot q}\\\\\dfrac{64}{2}=\dfrac{q^6}{q}\\\\q^5=32\\q=2\\\\a_2=a_1\cdot q\\2=a_1\cdot2\\a_1=1\\\\ a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\ \underline{a_n=1\cdot\big2^{n-1}}\\\\a_n=\big2^{n-1}\qquad\qquad\quad\{lub:\ \ a_n=\frac12\cdot\big2^n\}[/tex]
c)
[tex]a_5=3\sqrt5\,,\quad a_8=75\\\\\dfrac{a_8}{a_5}=\dfrac{a_1\cdot q^7}{a_1\cdot q^4}\\\\\dfrac{75}{3\sqrt5}=\dfrac{q^7}{q^4}\\\\q^3=\dfrac{25}{\sqrt5}=5\sqrt5=\left(\sqrt5\right)^3\\\\q=\sqrt5\\\\a_5=a_1\cdot q^4\\3\sqrt5=a_1\cdot(\sqrt5)^4\\3\sqrt5=a_1\cdot 25\\a_1=\frac{3\sqrt5}{25}\\\\ a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\ \underline{a_n=\frac{3\sqrt5}{25}\cdot\big(\sqrt5\big)^{n-1}}\\\\a_n=\frac{3}{25}\cdot\big(\sqrt5\big)^{n}\\\\a_n=\frac{3}{(\sqrt5)^4}\cdot\big(\sqrt5\big)^{n}\\\\a_n=3\cdot\big(\sqrt5\big)^{n-4}[/tex]
{Podkreślone wzory, to już wzory ciągów. Reszta to tylko przekształcenia do prostszej (lub "ładniejszej") postaci}
