Odpowiedź:
Odległość punktu [tex]C[/tex] od prostej [tex]AB[/tex] wynosi [tex]5\sqrt{2}[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech [tex]Ax+By+C=0[/tex], gdzie [tex]A^2+B^2\neq0[/tex] (współczynniki [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] nie są jednocześnie równe [tex]0[/tex]), będzie równaniem prostej [tex]AB[/tex] w postaci ogólnej. Ponieważ prosta ta przechodzi przez punkty [tex]A(5,4)[/tex] i [tex]B(-2,3)[/tex], to zapisać możemy następujący układ równań:
[tex]\begin{cases}\ 5A+4B+C=0\\-2A+3B+C=0\end{cases}[/tex].
Z pierwszego równania wyznaczamy [tex]C=-5A-4B[/tex]. Wstawiwszy tę wartość do równania drugiego dostajemy [tex]-2A+3B-5A-4B=0[/tex], co po uproszczeniu daje [tex]B=-7A[/tex], czyli [tex]C=-5A-4\cdot(-7A)=23A[/tex]. A zatem prosta [tex]AB[/tex] ma równanie postaci
[tex]Ax-7Ay+23A=0[/tex].
Ponieważ [tex]A^2+B^2=50A^2\neq0[/tex], czyli [tex]A\neq0[/tex], możemy to równanie obustronnie podzielić przez [tex]A[/tex]. Dostajemy wówczas równanie
[tex]x-7y+23=0[/tex].
Ze wzoru na odległość punktu od prostej wyznaczamy teraz odległość punktu [tex]C[/tex] od prostej [tex]AB[/tex]:
[tex]d(C,AB)=\dfrac{|-1-7\cdot(-4)+23|}{\sqrt{1^2+(-7)^2}}=\dfrac{-1+28+23}{\sqrt{1+49}}=\dfrac{50}{\sqrt{50}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.[/tex]