Odpowiedź:
Dla x>1 dana funkcja jest rosnąca.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech będą dane [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex], takie że
[tex]x_1czyli
[tex]x_2-x_1>0[/tex] - założenie nr 1
Ponadto z warunków zadania wiemy, że
[tex]x_1>1\\x_2>1[/tex]
więc
[tex]x_1+x_2>2\\x_1+x_2-2>0[/tex] - założenie nr 2
Zbadajmy znak różnicy:
[tex]f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-2x_2-(x_1^2-2x_1)=x_2^2-2x_2-x_1^2+2x_1=x_2^2-x_1^2-2x_2+2x_1=(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_1-x_2)=(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)[/tex]
Z założenia nr 1 mamy, że pierwszy nawias jest dodatni, a z założenia 2, że drugi nawias jest dodatni.
Zatem różnica [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex] jest dodatnia, więc funckcja f dla x>1 jest rosnąca.
