Zadanie 1.
Określmy najpierw dziedzinę zadanego równania. Mianownik ułamka po lewej stronie równania nie może być równy [tex]0[/tex], a zatem [tex]x=0[/tex]. Dla wszystkich innych wartości zmiennej [tex]x[/tex] podane równanie ma sens liczbowy, a zatem [tex]D=\mathbb{R}\setminus\{0\}[/tex].
Prezchodzimy do rozwiązania równania. Stosując przekształcenia równoważne otrzymujemy kolejno:
[tex]\dfrac{x^2-4x}{x}=5[/tex],
[tex]x^2-4x=5x[/tex],
[tex]x^2-9x=0[/tex],
[tex]x(x-9)=0[/tex].
Stąd mamy [tex]x\in\{0,9\}[/tex]. Jednak [tex]x=0[/tex] nie należy do dziedziny równania, a zatem jego jedynym rozwiązaniem jest [tex]x=9[/tex].
Zadanie 2.
Z tabelki wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów [tex]0^{\circ}[/tex], [tex]30^{\circ}[/tex], [tex]45^{\circ}[/tex], [tex]60^{\circ}[/tex], [tex]90^{\circ}[/tex] odczytujemy, że [tex]\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}[/tex], [tex]\text{tg}\hspace{1.5pt}45^{\circ}=1[/tex] i [tex]\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Mamy więc
[tex]\dfrac{\sin30^{\circ}}{\text{tg}\hspace{1.5pt}45^{\circ}+\cos45^{\circ}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2^2-(\sqrt{2})^2}=\\=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4-2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.[/tex]
Zadanie 3.
Z jedynki trygonometrycznej, czyli równości [tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex], mamy
[tex]\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{9}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}.[/tex]
Wstawiając tę wartość do zadanego wyrażenia uzyskujemy
[tex]2-3\sin^2\alpha=2-3\cdot\dfrac{5}{9}=2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{6}{3}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{3}.[/tex]
