Legenda:
* - mnożenie
: - dzielenie
/ - kreska ułamkowa
^ - do potęgi
π - czytaj: pi
≈ - czytaj: równa się około
Odpowiedź:
P1 = a * h / 2 = 6 * 8 / 2 = 48 / 2 = 24
r = 10 : 2 = 5
P2 = π * r^2 = π * 5^2 = π * 25 = 25π
P3 = P2 - P1 = 25π - 24 ≈ 25 * 3,4 - 24 = 85 - 24 = 61
Odpowiedź: Pole zacieniowanej figury wynosi 61
Użyte wzory:
Wzór na pole trójkąta:
P = a * h / 2
P - pole; a - bok; h - wysokość
Wzór na pole koła:
P = π * r^2
P - pole; π - liczba pi (ok. 3,4); r - promień
Użyte Zasady:
Trójkąt wpisany w okrąg, którego bok pokrywa się ze średnicą okręgu, jest trójkątem prostokątnym (patrz: załącznik)
Krótkie wyjaśnienie (zakładam, że znasz podstawy):
Pole figury zacieniowanej to różnica pola koła i pola trójkąta.
Trójkąt jest prostokątny, ponieważ jest wpisany w okrąg, a jeden z jego boków jest średnicą okręgu.
Obliczamy pole trójkąta:
P1 = 6 * 8 / 2 = 48 / 2 = 24
Obliczamy promień, dzieląc średnicę na pół:
r = 10 : 2 = 5
Obliczamy pole koła:
P2 = π * r^2 = π * 5^2 = π * 25 = 25π
Obliczamy pole zacieniowanej figury:
P3 = P2 - P1 = 25π - 24 ≈ 25 * 3,4 - 24 = 85 - 24 = 61
Odpowiedź: Pole zacieniowanej figury wynosi 61
Szczegółowe wyjaśnienie (zakładam, że nic nie wiesz):
Naszym celem jest obliczenie pola zacieniowanej figury. Widzimy, że jest ona podobna do otaczającego ją koła, lecz nie zawiera znajdującego się w nim trójkąta.
Nie znamy jednak rodzaju trójkąta, więc nie możemy jeszcze obliczyć jego pola.
Zauważmy, że trójkąt wewnątrz koła ma wszystkie wierzchołki na okręgu (matematycy mówią, że jest on wpisany w okrąg).
Jest taka dziwna i nieintuicyjna zasada, że jak trójkąt jest wpisany w okrąg i jeden z jego boków pokrywa się ze średnicą, to jest to trójkąt prostokątny (czyli ma jeden kąt prosty).
Ale co to jest średnica? Aby ją określić, musimy znać środek koła. Tutaj na szczęście jest on oznaczony literą S.
I proszę! Bok o długości 10 przechodzi przez punkt S dokładnie w środku. Jest więc również średnicą okręgu.
Wiemy więc, że kąt, który nie dotyka boku o długości 10 (czyli ten w prawym górnym rogu koła) jest prosty. Z tą wiedzą możemy obliczyć pole trójkąta.
Wzór na pole trójkąta to P = a * h / 2, gdzie a to bok, h to wysokość, a P to pole.
W trójkącie prostokątnym jeśli wybierzemy bok o długości 8 jako a, to bok o długości 6 będzie h (patrz: załącznik).
Podstawmy więc, nazywając pole trójkąta P1:
P1 = 8 * 6 / 2 = 48 / 2 = 24
Z kołem będzie łatwiej. Mamy stosunkowo przerażający wzór π * r^2. Dlaczego przerażający? Bo zawiera liczbę π (pi), której uczniowie się boją. Traktujmy ją po prostu jako zwykłą niewiadomą x, jak na algebrze.
Symbol r oznacza promień, czyli po prostu połowę średnicy, więc liczmy:
r = 10 : 2 = 5
Podstawmy więc do wzoru, nazywając pole koła P2:
π * r^2 = π * 5^2 = π * 5 * 5 = π * 25 = 25π
Mamy więc zarówno pole koła, jak i pole trójkąta. Wystarczy je teraz odjąć.
Policzmy więc, nazywając pole zacieniowanej figury P3:
P3 = P2 - P1 = 25π - 24 ≈ 25 * 3,4 - 24 = 85 - 24 = 61
Mamy więc odpowiedź: pole zacieniowanej figury wynosi 61.
