Odpowiedź :
Kolejne wyrazy malejącego ciągu geometrycznego to [tex]48,24,12.[/tex]
- Na początku wyznaczmy wzory opisujące trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Będą to:
[tex]a_1,a_2,a_3[/tex]
[tex]a_2=a_1\cdot q[/tex]
[tex]a_3=a_1\cdot q^2[/tex]
- Teraz zapiszmy zależności wynikające z treści zadania:
[tex]a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=84\\a_1-a_1\cdot q^2=36[/tex]
- Stwórzmy układ równań i wyznaczmy [tex]a_1[/tex] oraz [tex]q[/tex]:
[tex]\left \{ {{a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=84} \atop {a_1-a_1\cdot q^2=36}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=84} \atop {a_1(1-q^2)=36}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=84} \atop {a_1=\frac{36}{1-q^2} }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{\frac{36}{1-q^2}+\frac{36}{1-q^2}\cdot q+\frac{36}{1-q^2}\cdot q^2=84} \atop {a_1=\frac{36}{1-q^2} }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{36+36q+36q^2=84(1-q^2)} \atop {a_1=\frac{36}{1-q^2} }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{36+36q+36q^2=84-84q^2} \atop {a_1=\frac{36}{1-q^2} }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{120q^2+36q-48=0} \atop {a_1=\frac{36}{1-q^2} }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{10q^2+3q-4=0} \atop {a_1=\frac{36}{1-q^2} }} \right.[/tex]
- Wyznaczmy deltę:
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=3^2-4\cdot10\cdot (-4)=9+160=169[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=13[/tex]
[tex]q_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-3+13}{20}=\frac{1}{2} \\\\q_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-3-13}{20}=-\frac{4}{5}[/tex]
Dla ujemnego ilorazu ciągu wyrazy będą naprzemiennie ujemne i dodatnie, co sprawi, że nie zostanie spełniony warunek wynikający z treści zadania, który mówi, że ciąg jest malejący. Dlatego odrzucamy odpowiedź [tex]q_2.[/tex]
- Teraz wyznaczmy pierwszy wyraz ciągu:
[tex]a_{1}=\frac{36}{1-(\frac{1}{2})^2 } =\frac{36}{\frac{3}{4} } =48\\[/tex]
- Oraz drugi i trzeci:
[tex]a_2=48\cdot \frac{1}{2} =24[/tex]
[tex]a_3=48\cdot (\frac{1}{2})^2=48\cdot \frac{1}{4} =12[/tex]
