Rozwiązanie:
[tex]\text{Zadanie} \ \bold{ 18.}[/tex]
[tex]S_{n}=n^{2}+3n+1[/tex]
Obliczamy [tex]S_{n-1}[/tex] :
[tex]S_{n-1}=(n-1)^{2}+3(n-1)+1=n^{2}-2n+1+3n-3+1=n^{2}+n-1[/tex]
Obliczamy [tex]a_{n}[/tex] :
[tex]a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}+3n+1-(n^{2}+n-1)=2n+2[/tex]
Łatwo zauważyć, że ten wzór zachodzi dla [tex]n\geq 2[/tex], gdyż [tex]a_{1}=S_{1}=5[/tex]. Dwudziesty wyraz ciągu:
[tex]a_{20}=20 \cdot 2 + 2=42[/tex]
[tex]\text{Zadanie} \ \bold{19.}[/tex]
Ciąg arytmetyczny [tex](x,y,10)[/tex], stąd:
[tex]2y=x+10[/tex]
Ciąg geometryczny [tex](x-2,y,16)[/tex], stąd:
[tex]y^{2}=16(x-2)[/tex]
[tex]4y^{2}=64(x-2) \iff (2y)^{2}=64(x-2)[/tex]
Podstawiamy pierwsze równanie:
[tex](x+10)^{2}=64(x-2)[/tex]
[tex]x^{2}+20x+100-64x+128=0[/tex]
[tex]x^{2}-44x+228=0[/tex]
[tex]$\Delta=1936-4 \cdot 1 \cdot 228=1024[/tex]
[tex]$x_{1}=\frac{44+32}{2} =38[/tex]
[tex]$x_{2}=\frac{44-32}{2} =6[/tex]
Stąd:
[tex]y_{1}=24[/tex]
[tex]y_{2}=8[/tex]
Możliwe pary to [tex](x,y)=(38,24)[/tex] lub [tex](x,y)=(6,8)[/tex].
