Rozwiązanie:
Zadanie [tex]\bold{1.}[/tex]
[tex]$a_{n}=2020^{pn+p^{3}+2021}[/tex]
[tex]p \in \mathbb{R}[/tex]
Mamy:
[tex]a_{n+1}=2020^{p(n+1)+p^{3}+2021}=2020^{pn+p^{3}+2021+p}=2020^{pn+p^{3}+2021} \cdot 2020^{p}[/tex]
Zatem:
[tex]$q=\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{2020^{pn+p^{3}+2021} \cdot 2020^{p}}{2020^{pn+p^{3}+2021} }=2020^{p} \in \mathbb{R} =\text{const.}[/tex]
co kończy dowód, że ciąg jest geometryczny.
Zauważmy, że [tex]a_{n}>0 \ \forall \ n \in \mathbb{N}[/tex]. Podobnie z ilorazem [tex]q[/tex] ciągu. To oznacza, że wystarczy, aby zachodził warunek:
[tex]q \in (1,\infty) \iff 1<2020^{p} \iff 2020^{0}<2020^{p} \iff p>0[/tex]
Zadanie [tex]\bold{2.}[/tex]
Mamy:
[tex]$a_{15}=a_{1} \cdot q^{14}=\sqrt{11}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]a_{1} \cdot a_{29} =a_{1} \cdot a_{1} \cdot q^{28}=(a_{1} \cdot q^{14})^{2}=a_{15}^{2}=(\sqrt{11})^{2}=11[/tex]
[tex]a_{2} \cdot a_{28}=a_{1} \cdot q \cdot a_{1} \cdot q^{27}=(a_{1} \cdot q^{14})^{2}=a_{15}^{2}=(\sqrt{11})^{2}=11[/tex]
i ogólnie:
[tex]a_{n} \cdot a_{30-n}=a_{1} \cdot q^{n-1} \cdot a_{1} \cdot q^{30-n-1}=a_{1}^{2} \cdot q^{28}=(a_{1} \cdot q^{14})^{2}=a_{15}^{2}=11[/tex]
Teraz tylko zauważamy, że takich czynników jest [tex]15[/tex], a więc suma wynosi:
[tex]a_{1} \cdot a_{29} + a_{2} \cdot a_{28} + ... + a_{15} \cdot a_{15}=15 \cdot 11 =165[/tex]
