Rozwiązanie:
Zadanie [tex]\bold{636}.[/tex]
Rysunek w załączniku.
Punkt:
[tex]A=(1,-3)[/tex]
Prosta:
[tex]y=2x \iff 2x-y=0[/tex]
Niech przekątna [tex]BD[/tex] będzie zawarta w tej prostej. Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym, tak więc będziemy szukali punktu [tex]C[/tex], który leży na prostej prostopadłej do danej prostej.
Prosta prostopadła:
[tex]y=ax+b[/tex]
[tex]$a=-\frac{1}{2}[/tex]
Podstawiamy [tex]A=(x,y)=(1,-3)[/tex] :
[tex]$-3=-\frac{1}{2} \cdot 1 +b \iff b = -\frac{5}{2}[/tex]
[tex]$y=-\frac{1}{2}x -\frac{5}{2}[/tex]
Punkt przecięcia się przekątnych kwadratu:
[tex]$-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2} =2x \iff -x-5=4x \iff 5x=-5 \iff x = -1[/tex]
[tex]y=2 \cdot (-1)=-2[/tex]
[tex]P=(-1,-2)[/tex]
Teraz łatwo wyznaczamy punkt [tex]C[/tex] - ze wzoru na środek odcinka:
[tex]$S_{AC}=\Big(\frac{1+x_{C}}{2} ,\frac{-3+y_{C}}{2} \Big)=(-1,-2)[/tex]
Stąd:
[tex]x_{C}=-3, \ y_{C}=-1 \Rightarrow C=(-3,-1)[/tex]
Długość odcinka [tex]|AP|[/tex] :
[tex]|AP|=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-3+2)^{2}} =\sqrt{2^{2}+1^{2}} =\sqrt{5}[/tex]
Punkty [tex]B[/tex] i [tex]D[/tex] leżą na danej prostej (czyli ich współrzędne możemy zapisać jako [tex](x,2x)[/tex]) oraz są odległe od punktu [tex]P[/tex] o [tex]\sqrt{5}[/tex]. Zatem mamy:
[tex]|PB|=|PD|=\sqrt{(x+1)^{2}+(2x+2)^{2}} =\sqrt{5}[/tex]
[tex]x^{2}+2x+1+4x^{2}+8x+4=5[/tex]
[tex]5x^{2}+10x=0[/tex]
[tex]x(x+2)=0[/tex]
[tex]x=0 \vee x = -2[/tex]
[tex]y=0 \vee y=-4[/tex]
W naszej konwencji:
[tex]B=(0,0)[/tex]
[tex]D=(-2,-4)[/tex]
Zatem ostatecznie:
[tex]C=(-3,-1), \ \ B=(0,0), \ \ D=(-2,-4)[/tex]
Zadanie [tex]\bold{637.}[/tex]
Rysunek w załączniku.
W trapezie co najmniej jedna para boków jest równoległa, więc wystarczy taką parę znaleźć, aby zakończyć dowód.
Weźmy proste przechodzą przez punkty [tex]A[/tex] i [tex]D[/tex] oraz [tex]B[/tex] i [tex]C[/tex].
Prosta [tex]AD[/tex] :
[tex]$a_{AD}=\frac{4-(-1)}{-1-7} =-\frac{5}{8}[/tex]
Prosta [tex]BC[/tex] :
[tex]$a_{BC}=\frac{5-\frac{5}{2} }{\frac{3}{2}-\frac{11}{2} } =\frac{\frac{5}{2} }{-4 } =-\frac{5}{8} =a_{AD}[/tex]
czyli te proste są równoległe, co kończy dowód.
Aby w trapez ten dało się wpisać okrąg, musi zachodzić warunek:
[tex]|AD|+|BC|=|AB|+|CD|[/tex]
Obliczamy długości odcinków:
[tex]$|AB|=\sqrt{\Big(\frac{11}{2}-7 \Big)^{2}+\Big(\frac{5}{2}+1 \Big)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{49}{4} } =\frac{\sqrt{58} }{2}[/tex]
[tex]$|BC|=\sqrt{\Big(\frac{3}{2}- \frac{11}{2} \Big)^{2}+\Big(5-\frac{5}{2} \Big)^{2}} =\sqrt{16+\frac{25}{4} } =\frac{\sqrt{89} }{2}[/tex]
[tex]$|CD|=\sqrt{\Big(-1-\frac{3}{2} \Big)^{2}+(4-5)^{2}} =\sqrt{\frac{25}{4}+1 } =\frac{\sqrt{29} }{2}[/tex]
[tex]|AD|=\sqrt{(-1-7)^{2}+(4+1)^{2}} =\sqrt{64+25} =\sqrt{89}[/tex]
Mamy:
[tex]$|AD|+|BC|=\sqrt{89} +\frac{\sqrt{89} }{2} = \frac{3\sqrt{89} }{2}[/tex]
[tex]$|AB|+|CD|=\frac{\sqrt{58} }{2}+\frac{\sqrt{29} }{2}[/tex]
[tex]|AD|+|BC|\neq |AB|+|CD|[/tex]
W ten trapez nie da się wpisać okręgu.
Zadanie [tex]\bold{638.}[/tex]
Rozważamy kwadrat o boku [tex]1[/tex], a zatem o przekątnej [tex]\sqrt{2}[/tex]. Każdy bok dowolnego trójkąta [tex]MNP[/tex] w nim zawartego musi mieć długość równą bądź mniejszą od przekątnej. Stąd prawdziwa jest nierówność:
[tex]$P_{\Delta}=\frac{1}{2}ab \sin \alpha \leq \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sin \alpha =\sin\alpha \iff P_{\Delta} \leq \sin \alpha[/tex]
co kończy dowód.
Zadanie [tex]\bold{639.}[/tex]
Rysunek w załączniku.
Na początek obliczamy odległość punktu [tex]S[/tex] od danej prostej, jest to połowa boku kwadratu:
[tex]y=3x-5 \iff 3x-y-5=0[/tex]
[tex]S=(1,3)[/tex]
[tex]$d=\frac{|3 \cdot 1+(-1) \cdot 3-5|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}} }=\frac{|3-3-5|}{\sqrt{9+1} } =\frac{|-5|}{\sqrt{10} }=\frac{5}{\sqrt{10} } =\frac{5\sqrt{10} }{10} =\frac{\sqrt{10} }{2}[/tex]
Zatem bok kwadratu ma długość [tex]\sqrt{10}[/tex]. Teraz będziemy szukać punktów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex], które leżą na prostej [tex]y=3x-5[/tex] (więc ich współrzędne można zapisać jako [tex](x,3x-5)[/tex]). Ich odległość od punktu [tex]S[/tex] musi być równa [tex]$\frac{\sqrt{20} }{2} =\sqrt{5}[/tex]. Mamy:
[tex]|AS|=|BS|=\sqrt{(x-1)^{2}+(3x-5-3)^{2}} =\sqrt{5}[/tex]
[tex](x-1)^{2}+(3x-8)^{2}=5[/tex]
[tex]x^{2}-2x+1+9x^{2}-48x+64-5=0[/tex]
[tex]10x^{2}-50x+60=0[/tex]
[tex]x^{2}-5x+6=0[/tex]
[tex](x-2)(x-3)=0[/tex]
[tex]x=2 \vee x= 3[/tex]
[tex]y=1 \vee y=4[/tex]
Zatem:
[tex]A=(2,1)[/tex]
[tex]B=(3,4)[/tex]
Prosta prostopadła do danej prostej przechodząca przez punkt [tex]A[/tex] :
[tex]$y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}[/tex]
Prosta prostopadła do danej prostej przechodząca przez punkt [tex]B[/tex] :
[tex]$y=-\frac{1}{3}x+5[/tex]
Prosta [tex]AS[/tex] :
[tex]y=-2x+5[/tex]
Prosta [tex]BS[/tex] :
[tex]$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}[/tex]
Wyznaczamy współrzędne punktu [tex]C[/tex] :
[tex]$-\frac{1}{3}x +5=-2x+5 \iff -\frac{1}{3}x=-2x \iff x=0[/tex]
[tex]y=5[/tex]
[tex]C=(0,5)[/tex]
Wyznaczamy współrzędne punktu [tex]D[/tex] :
[tex]$-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} \iff -2x+10=3x+15 \iff x=-1[/tex]
[tex]y=2[/tex]
[tex]D=(-1,2)[/tex]
Zatem ostatecznie:
[tex]A=(2,1), \ \ B=(3,4), \ \ C=(0,5), \ \ D=(-1,2)[/tex]
