Rozwiązane

1. Oblicz
[tex]\frac{sin\frac{5}{6\\}\pi -2cos\frac{\pi }{6} }{-tg\frac{2}{3} \pi }[/tex]
2. Przekształć
[tex]\frac{1+ctg^{2}x }{cos^{2}x }[/tex]
3. Przekształć
[tex]\frac{1}{sinx} +ctg x[/tex]
Byłbym wdzięczny jakby ktoś pomógł chociaż z dwoma zadaniami



Odpowiedź :

Odpowiedź:

1.

[sin(5π/6) - 2cos(π/6)]/(-tg(2π/3) = = √3/2 - 3

2.

(1 + ctg²x)/cos²x = = 1/(sin²x)•cos²x

3.

(1/sinx) + ctgx = (1/sinx) + cosx/sinx = (1 + cosx)/sinx

Szczegółowe wyjaśnienie:

1.

[sin(5π/6) - 2cos(π/6)]/(-tg(2π/3) =

[2π = 360º,   π = 180º,  5π/6 = 150º,  2π/3 = 120º,  π/2 = 90º,  π/3 = 60º,  π/4 = 45º,  π/6 = 30º].     to

= (sin150 - 2cos30)/(-tg120) =

= [sin(180 - 30) - 2cos30]/(-tg(180 - 60)) =

[są to tzw. wzory redukcyjne, redukcja dowolnych kątów

na kąty ostre (0 - 90), jest taki wierszyk, z akcentem na "plusy":

"W pierwszej ćwiartce (0-90)same plusy, w drugiej (180-α) tylko sinus,

w trzeciej (180+α) tangens i cotangens, a w czwartej (-α) cosinus"  -funkcje nie wymienione w tym wierszyku mają wartości "minus"]       to

= [sin30 - 2cos30]/-tg60 = [1/2 - 2√3/2]/(-(-√3/3)) = [druga ćwiartka, tg (-)]

= (1/2 - √3):(√3/3) = (1/2 - √3)•(3/√3) =                      [ :(√3/3) = •(3/√3)]

= 3/2•√3 - 3 = 3√3/6 - 3 =

= √3/2 - 3

2.

(1 + ctg²x)/cos²x =       [sinx/cosx = tgx,  cosx/sinx = ctgx;  sin²/sin² = 1]     to

= (sin²x/sin²x + cos²x/sin²x)/cos²x =

= [(sin²x + cos²x)/sin²x]/cos²x =  [sin²x + cos²x = 1, tzw. jedynka trygonom.]

= (1/sin²x):cos²x =

= 1/(sin²x)•cos²x

3.

(1/sinx) + ctgx = (1/sinx) + cosx/sinx = (1 + cosx)/sinx