Odpowiedź:
Promień okręgu wpisanego w trójkąt: r = 2(√3 - 1) cm.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Trzeci bok trójkąta obliczymy z tw. cosinusów:
a² = b² + c² - 2•b•c• cos α = 4² + 8² - 2•4•8 cos 60° = 16 + 64 - 2•4•8•(1/2)
[cos 60° = 1/2] to a² = 16 + 64 - 64/2 = 48 = 16•3 to a = 4√3,
mamy trzy boki: 4cm, 8cm i kąt między nimi zawarty 60°, oraz 4√3 cm.
Pole każdego trójkąta (również dowolnego) obliczymy z polowy iloczynu jego boków i sinusa kąta między nimi zawartego:
P = (1/2)•4•8•sin 60° = (1/2)•4•8•√3/2 = 8√3 cm² [sin 60° = √3/2]
Promień okręgu wpisanego w trójkąt:
r = 2P/(a + b + c) = 16√3/(4 + 8 + 4√3) = 16√3/(12 + 4√3) =
= 16√3/4(3 + √3) = 4√3/(3 + √3) = [usuniemy niewymierność z mianownika mnożąc licznik i mianownik przez (3 - √3) z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia: a² - b² = (a – b)∙(a + b)] to
= 4√3(3 - √3)/(3 + √3)(3 - √3) = (12√3 - 12)/[3² - (√3)²] =
= 12(√3 - 1)/[9 - 3] = 12(√3 - 1)/6 = 2(√3 - 1) cm.
Odpowiedź: Promień okręgu wpisanego w trójkąt: r = 2(√3 - 1) cm.
