Odpowiedź:
[tex]6\frac{1}{2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początek znajdźmy punkty [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex].
[tex]f(x)=g(x)\\x^2=-x^2+2x+6\\2x^2-2x-6=0\ |:2\\x^2-x-3=0\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-3)=1+12=13\\\sqrt\Delta=\sqrt{13}\\x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\\x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{2}[/tex]
Stwórzmy nową funkcję h(x) określoną w przedziale [tex](x_1,x_2)[/tex], która będzie mierzyła odległość między punktami N i M. Zauważmy, że skoro N i M są na tej samej linii pionowej, to odległość między nimi jest równa różnicy wartości funkcji
[tex]h(x)=g(x)-f(x)\\h(x)=-x^2+2x+6-x^2\\h(x)=-2x^2+2x+6[/tex]
Zadanie sprowadza się teraz do wyznaczenia największej wartości funkcji h(x) w przedziale [tex](x_1,x_2)[/tex].
Policzmy p wierzchołka funkcji h(x).
[tex]p=-\frac{b}{2a}\\p=-\frac{2}{2*(-2)}=\frac{1}{2}[/tex]
Ponieważ znalezione p należy do przedziału [tex](x_1,x_2)[/tex], a ramiona paraboli h(x) skierowane są w dół, więc szukane maksimum jest osiągane właśnie dla wyliczonego p i wynosi
[tex]h_{max}=h(p)=h(\frac{1}{2})=-2*(\frac{1}{2})^2+2*\frac{1}{2}+6=-2*\frac{1}{4}+1+6=-\frac{1}{2}+7=6\frac{1}{2}[/tex]
