Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a)\ \bigg[\left(1\dfrac{1}{4}\right)^{-3}\bigg]^3\cdot\left(1\dfrac{1}{4}\right)^7=\left(1\dfrac{1}{4}\right)^{(-3)\cdot3+7}=\left(1\dfrac{1}{4}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}[/tex]
skorzystałem z twierdzeń:
[tex](a^n)^m=a^{n\cdot m}\\\\a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n},\ a\neq0[/tex]
oraz definicji:
[tex]a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n,\ a\neq0[/tex]
[tex]b)\ 4^{-\frac{3}{2}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1+\frac{1}{2}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^1\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}[/tex]
skorzystałem z twierdzenia:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]
oraz definicji:
[tex]a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n,\ a\neq0\\\\a^\frac{1}{2}=\sqrt{a},\ a\geq0[/tex]
[tex]c)\ \log_{\sqrt5}\sqrt[3]{25}=\log_{\sqrt5}\sqrt[3]{5^2}=\log_{\sqrt5}5^{\frac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}\log_{\sqrt5}5=\dfrac{3}{2}\log_{\sqrt5}\left(\sqrt5\right)^2\\\\=2\cdot\dfrac{3}{2}\log_{\sqrt5}\sqrt5=3\cdot1=3[/tex]
skorzystałem z twierdzenia:
[tex]\log_ab^n=n\log_ab,\ a,b>0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
oraz definicji logarytmu:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b,\ a,b>0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
[tex]d)\ 6^{-1+2\log_63}=6^{-1}\cdot6^{2\log_63}=\dfrac{1}{6}\cdot6^{\log_63^2}=\dfrac{1}{6}\cdot6^{\log_69}=\dfrac{1}{6\!\!\!\!\diagup_2}\cdot9\!\!\!\!\diagup^3=\dfrac{3}{2}=1\dfrac{1}{2}[/tex]
skorzystałem z twierdzeń:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\log_ab^n=n\log_ab,\ a,b>0\ \wedge\ a\neq1\\\\a^{\log_ab}{=b,\ a,b>0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
oraz z definicji:
[tex]a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n,\ a\neq0[/tex]
[tex]a)\ \log_x\dfrac{1}{4}=-2\\\\D:x>0\ \wedge\ x\neq1\\\\\log_x\dfrac{1}{4}=-2\iff x^{-2}=\dfrac{1}{4}\\\\x^{-2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\x^{-2}=2^{-2}\Rightarrow x=2\in D[/tex]
[tex]b)\ \log_6x=0\\\\D:x>0\\\\\log_6x=0\iff x=6^0\\\\x=1\in D[/tex]
