Zadanie 1.
[tex]f(x)=-x^2+mx-3[/tex]
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy [tex]\Delta<0[/tex]. Znajdźmy m.
[tex]\Delta=m^2-4*(-1)*(-3)=m^2-12\\m^2-12<0\\(m-\sqrt{12})(m+\sqrt{12})<0\\(m-2\sqrt{3})(m+2\sqrt{3})<0\\m_1=2\sqrt3\ , \ m_2=-2\sqrt3\\m\in(-2\sqrt3,2\sqrt3)[/tex]
Ale w zadaniu pytają o m całkowite, więc
[tex]2\sqrt3\approx3,5\\m\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}[/tex]
Jest 7 takich m.
Odp: D
Zadanie 2.
[tex]x^2+mx+m+3=0[/tex]
Równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania, gdy [tex]\Delta>0[/tex]. Znajdźmy m.
[tex]\Delta=m^2-4*1*(m+3)=m^2-4m-12\\m^2-4m-12>0\\\Delta_m=(-4)^2-4*1*(-12)=16+48=64\\\sqrt{\Delta_m}=8\\m_1=\frac{4-8}{2}=-2\ ,\ m_2=\frac{4+8}{2}=6\\m\in(-\infty,-2)\cup(6,+\infty)[/tex]
Odp: C
Zadanie 3.
[tex]x^2-3mx+2m^2-1=0[/tex]
Aby były 2 różne pierwiastki, musi być spełniony warunek [tex]\Delta>0[/tex].
Drugi warunek [tex]x_1+x_2>x_1x_2[/tex] rozwiążemy ze wzorów Viete'a.
[tex]\Delta>0\\\Delta=(-3m)^2-4*1*(2m^2-1)=9m^2-8m^2+4=m^2+4[/tex]
Delta tej postaci jest zawsze większa od 0, więc ten warunek spełniają wszystkie m rzeczywiste.
Sprawdźmy drugi warunek.
[tex]x_1+x_2>x_1x_2\\-\frac{b}{a}>\frac{c}{a}\\\frac{3m}{1}>\frac{2m^2-1}{1}\\3m>2m^2-1\\2m^2-3m-1<0\\\Delta_m=(-3)^2-4*2*(-1)=9+8=17\\\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{17}\\m_1=\frac{3-\sqrt{17}}{4}\ ,\ m_2=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\\m\in(\frac{3-\sqrt{17}}{4},\frac{3+\sqrt{17}}{4})[/tex]
Zadanie 4.
[tex]f(x)=(m+1)x^2-2mx+m+3[/tex]
Przypadek 1 (gdy funkcja będzie liniowa):
[tex]m+1=0\\m=-1\\f(x)=2x+2[/tex]
Ta funkcja liniowa może przyjmować wartości ujemne, więc m = -1 nie spełnia warunków zadania.
Przypadek 2 (gdy funkcja kwadratowa):
Aby funkcja kwadratowa przyjmowała tylko wartości dodatnie, jej ramiona muszą być skierowane do góry (warunek 1) i delta musi być ujemna (warunek 2).
Warunek 1:
[tex]m+1>0\\m>-1\\m\in(-1,+\infty)[/tex]
Warunek 2:
[tex]\Delta=(-2m)^2-4*(m+1)(m+3)=4m^2-4(m^2+3m+m+3)=4m^2-4m^2-12m-4m-12=-16m-12\\-16m-12<0\\-16m<12\ |:(-16)\\m>-\frac{3}{4}\\m\in(-\frac{3}{4},+\infty)[/tex]
Ostatecznie z obu warunków mamy
[tex]m\in(-\frac{3}{4},+\infty)[/tex]
Zadanie 5.
[tex]x^2+3mx+2m-4=0[/tex]
Równanie ma mieć 2 pierwiastki ujemne, więc muszą być spełnione 3 warunki:
[tex]\Delta>0\ \ (\text{warunek 1})\\x_1x_2>0\ \ (\text{warunek 2})\\x_1+x_2<0\ \ (\text{warunek 3})[/tex]
Warunek 1:
[tex]\Delta=(3m)^2-4*1*(2m-4)=9m^2-8m+16\\9m^2-8m+16>0\\\Delta_m=(-8)^2-4*9*16=64-576=-512[/tex]
[tex]\Delta_m[/tex] jest ujemna, więc [tex]\Delta[/tex] jest dodatnia dla każdego m rzeczywistego.
Warunek 2:
[tex]x_1x_2>0\\\frac{c}{a}>0\\\frac{2m-4}{1}>0\\2m>4\ |:2\\m>2\\m\in(2,+\infty)[/tex]
Warunek 3:
[tex]x_1+x_2<0\\-\frac{b}{a}<0\\-\frac{3m}{1}\\-3m<0\ |:(-3)\\m>0\\m\in(0,+\infty)[/tex]
Ostatecznie z trzech warunków mamy
[tex]m\in(2,+\infty)[/tex]
Odp: D
