Odpowiedź :
Odpowiedź:
Proszę bardzo! ;)
SPOSÓB 1
Ciąg jest geometryczny wtedy gdy:
[tex]\frac{a_{n+1} }{a_{n} }=const.[/tex]
A.
[tex]a_{n}=\frac{n+1}{n}\\\\a_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}[/tex]
Podstawmy to do naszego założenia!
[tex]\frac{a_{n}+1 }{a_{n} }=const.\\\\\frac{\frac{n+2}{n+1} }{\frac{n+1}{n} }=\frac{n+2}{n+1}*\frac{n}{n+1}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}[/tex]
To nie jest ciąg geometryczny, gdyż w rozwiązaniu mamy n. Co nie jest wartością stałą.
B.
[tex]a_{n}=3(\frac{1}{2})^n\\\\a_{n+1}=3(\frac{1}{2})^{n+1}\\\\\frac{3(\frac{1}{2})^{n+1} }{3(\frac{1}{2})^n }=3(\frac{1}{2})^{n+1-n}=3(\frac{1}{2})^1=\frac{3}{2}[/tex]
To jest ciąg geometryczny (wartość jest stała)
SPOSÓB 2
Ciąg będzie geometryczny gdy:
[tex]\frac{a_{n+1} }{a_{n} }=\frac{a_{n} }{a_{n-1} }[/tex]
A.
[tex]a_{n}=\frac{n+1}{n} \\\\a_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}\\\\a_{n-1}=\frac{n+1-1}{n-1}=\frac{n}{n-1}[/tex]
[tex]\frac{a_{n+1} }{a_{n} }=\frac{a_{n} }{a_{n-1} }\\\\\frac{\frac{n+2}{n+1} }{\frac{n+1}{n} }=\frac{\frac{n+1}{n} }{\frac{n}{n-1} }\\\\ \frac{n+2}{n+1}*\frac{n}{n+1}=\frac{n+1}{n}*\frac{n-1}{n}\\\\ \frac{n^2+2n}{(n+1)^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}\\\\\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}=\frac{n^2-1}{n^2}\\\\ n^2(n^2+2n)=(n+1)^2(n^2-1)\\\\n^4+2n^3=(n^2+2n+1)(n^2-1)\\\\n^4+2n^3=n^4+2n^3+n^2-n^2-2n-1\\\\n^4-n^4+2n^3-2n^3=n^2-n^2-2n-1\\0=-2n+1\\\\L\neq P[/tex]
To nie jest ciąg geometryczny
B.
[tex]a_{n}=3(\frac{1}{2})^n\\\\a_{n+1}=3(\frac{1}{2})^{n+1} \\\\a_{n-1}=3(\frac{1}{2})^{n-1}\\[/tex]
[tex]\frac{a_{n+1} }{a_{n} }=\frac{a_{n} }{a_{n-1} }[/tex]
[tex]\frac{3(\frac{1}{2})^{n+1} }{3(\frac{1}{2})^n }=\frac{3(\frac{1}{2})^n }{3(\frac{1}{2})^{n-1} }\\\\[/tex]
Skrócą nam się wszystkie [tex]3(\frac{1}{2})[/tex] i mamy:
[tex]\frac{1^{n+1} }{1^n}=\frac{1^n}{1^{n-1} }\\\\1^{n+1}*1^{n-1}=1^n*1^n\\1^{n+1+n-1}=1^{n+n}\\\\1^{n+n}=1^{n+n} \\\\1^{2n}=1^{2n}\\\\ L=P[/tex]
To jest ciąg geometryczny!
Szczegółowe wyjaśnienie:
