Uzasadnij równość trygonometryczną:
[tex]\mathrm{tg}20^\circ=-2\cos10^\circ+\sqrt{3}+2\sqrt{3}\sin10^\circ[/tex]

Bawiłem się wzorami na potrojony kąt w nadziei, że znajdę wartości funkcji trygonometrycznych dla dwudziestu stopni, ale się nie udało i wyszło mi coś takiego. Dlatego proszę Was żebyście udowodnili, że równość zachodzi (bądź nie zachodzi).

[tex]$P=4\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^{\circ}-\frac{1}{2}\cos 10^{\circ} \Big)+\sqrt{3}=4\Big(\sin 60^{\circ}\sin 10^{\circ}-\cos 60 ^{\circ}\cos 10^{\circ} \Big)+\sqrt{3}=[/tex]

[tex]$=-4\Big(\cos 60 ^{\circ}\cos 10^{\circ}-\sin 60 ^{\circ}\sin 10^{\circ}\Big)+\sqrt{3}[/tex]

Teraz użyjemy wzoru:

[tex]\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta[/tex]

Mamy:

[tex]P=-4\cos 70^{\circ}+\sqrt{3}=-4\cos (90^{\circ}-20^{\circ})+\sqrt{3}=-4\sin 20^{\circ}+\sqrt{3}[/tex]

Teraz przenieśmy [tex]\sqrt{3}[/tex] na lewą stronę:

[tex]\text{tg}20^{\circ}-\sqrt{3}=4\sin 20^{\circ} \iff \sqrt{3}-\text{tg}20^{\circ}=4\sin 20^{\circ}[/tex]

Podstawiamy [tex]\sqrt{3}=\text{tg}60^{\circ}[/tex] :

[tex]\text{tg}60^{\circ}-\text{tg}20^{\circ}=4\sin 20^{\circ}[/tex]

Teraz zastosujemy wzór (łatwo go wyprowadzić, dwa proste przekształcenia):

[tex]$\text{tg}\alpha -\text{tg} \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }[/tex]

Mamy:

[tex]$L=\frac{\sin 40^{\circ}}{\cos 60^{\circ} \cos 20^{\circ}} =\frac{2\sin 20^{\circ} \cos 20 ^{\circ}}{\frac{1}{2} \cdot \cos 20^{\circ} } =4\sin 20^{\circ}=P[/tex]

zatem równość zachodzi, co należało pokazać.