Odpowiedź:
nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej
Szczegółowe wyjaśnienie:
poukładajmy tą nierówność trochę inaczej (:
x⁴ +1 > x
w tej postaci trzeba zauważyć parę rzeczy:
1° załóżmy, że x będzie ujemny, to lewa strona nierówności będzie dodatnia, bo jest parzysta potęga przy x, a prawa strona ujemna, bo założyliśmy, że x jest ujemny
2° załóżmy, że x jest równy zero, wtedy lewa strona wynosi 1, a prawa wynosi zero. ilustruję to na nierówności:
0⁴ + 1 > 0
1 > 0
3° załóżmy że x jest dodatni, mniejszy od 1
do obliczeń przyjmujemy, że liczba dodatnia mniejsza od 1 to k
wtedy będziemy mieli:
k⁴ + 1 > k
oczywiście k jest liczbą mniejszą od 1, więc podniesiona do czwartej potęgi będzie mniejsza od k, bo jak wiemy, przy mnożeniu przez siebie liczby mniejszej od 1, dostaniemy liczbę jeszcze mniejszą (odwrotnie jak w przypadku liczby większej od 1)
reasumując: k⁴ < k dla 0 < k < 1,
ale jeśli po lewej stronie dodamy 1...
k⁴ + 1 > k, to nierówność ta jest prawdą, bo z założenia k⁴ jest dodatnie, a k < 1, więc skoro dodaliśmy 1 do liczby dodatniej, to musi to być więcej niż prawa strona, która jest mniejsza od 1.
k⁴ + 1 > 1 dla 0 < k < 1
4° jeśli k jest dodatnie większe od 1, to k⁴ jest zawsze większe od k, bo jest podniesione do czwartej potęgi (: z definicji potęgi, dla k > 1 dwie liczby o tej samej podstawie k i parzystym wykładniku m > 1 porównujemy w oparciu o wykładniki. tam gdzie większy wykładnik, tam większa liczba (: