[tex]ax-1=\frac{1}{x}-1\\ax=\frac{1}{x}\\x\neq 0\\ax^2=1\\x^2=\frac{1}{a}[/tex]
równanie powyższe ma rzeczywiste rozwiązania dla a>0, przy czym są to zawsze dwa rozwiązania:
[tex]x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{a}}[/tex]
zatem dla wszystkich a>0 prosta ma dokładnie dwa punkty wspólne z hiperbolą
Gdyby jednak funkcja f(x):
[tex]f(x)=\frac{1}{x-1},\ x\neq 1[/tex]
wtedy
[tex]ax-1=\frac{1}{x-1}\\(ax-1)(x-1)=1\\ax^2-x(a+1)+1=1\\x(ax-a-1)=0\\x_1=0\\x_2=\frac{a+1}{a},\ a\neq 0[/tex]
obydwa rozwiązania zbiegają się dla
[tex]\frac{a+1}{a}=0\\a=-1[/tex]
wtedy prosta -x-1 oraz hiperbola 1/(x-1) mają dokładnie jeden punkt wspólny (0;-1)
pozdrawiam
