Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{L=144\pi}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a[/tex] - długość boku trójkąta równobocznego
[tex]h[/tex] - długość wysokości trójkąta równobocznego
[tex]R[/tex] - promień okręgu opisanego na trójkącie
Dane:
[tex]R=h-6[/tex]
Szukane:
[tex]L=?[/tex]
Wzory:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\\\\R=\dfrac{2}{3}h\\\\L=2\pi R[/tex]
Przekształcamy wzór na długość promienia okręgu:
[tex]R=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup}=\dfrac{a\sqrt3}{3}[/tex]
Podstawiamy do Danych:
[tex]\dfrac{a\sqrt3}{3}=\dfrac{a\sqrt3}{2}-6\qquad|\cdot6\\\\6\!\!\!\!\diagup^2\cdot\dfrac{a\sqrt3}{3\!\!\!\!\diagup_1}=6\!\!\!\!\diagup^3\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}-6\cdot6\\\\2a\sqrt3=3a\sqrt3-36\qquad|-3a\sqrt3\\\\-a\sqrt3=-36\qquad|\cdot(-\sqrt3)\\\\3a=36\sqrt3\qquad|:3\\\\a=12\sqrt3[/tex]
Obliczamy długość promienia okręgu:
[tex]R=\dfrac{12\sqrt3\cdot\sqrt3}{3}=\dfrac{12\cdot3\!\!\!\!\diagup}{3\!\!\!\!\diagup}=12[/tex]
Obliczamy długość okręgu:
[tex]L=\pi\cdot12^2=144\pi[/tex]