Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli liczby 2 i 4 są miejscami zerowymi funkcji f(x) = 2x² + bx + c, to wartości funkcji dla tych argumentów wynoszą 0:
f(2) = 0 i f(4) = 0
Podstawimy x = 2 i x = 4 oraz f(x) = 0 do wzoru funkcji i rozwiązujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}0=2\cdot2^2+2b+c\\0=2\cdot4^2+4b+c\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}0=8+2b+c&|-8-2b\\0=32+4b+c\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}-8-2b=c&(1)\\0=32+4b+c&(2)\end{array}\right[/tex]
podstawiamy (1) do (2):
[tex]0=32+4b-8-2b\\0=24+2b\qquad|-24\\-24=2b\qquad|:2\\b=-12[/tex]
podstawiamy do (1):
[tex]c=-8-2\cdot(-12)\\c=-8+24\\c=16[/tex]
Stąd:
[tex]f(x)=2x^2-12x+16[/tex]
Przedstawiamy funkcję kwadratową w postaci iloczynowej:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
[tex]x_1,x_2[/tex] - miejsca zerowe funkcji
Podstawiamy:
[tex]a=2,\ x_1=2,\ x_2=4\\\\f(x)=2(x-2)(x-4)[/tex]
przedstawiamy w postaci sumy algebraicznej:
[tex]f(x)=(2x-4)(x-4)=2x\cdot x+2x\cdot(-4)+(-4)\cdot x+(-4)\cdot(-4)\\=2x^2-8x-4x+16=2x^2-12x+16[/tex]
Z równości wielomianów
[tex]2x^2+bx+c=2x^2-12x+16[/tex]
mamy
[tex]b=-12,\ c=16[/tex]
Podstać kanoniczna funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
[tex](p,q)[/tex] - współrzędne wierzchołka
[tex]p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex]
Obliczamy wartości p i q:
[tex]p=\dfrac{-(-12)}{2\cdot2}=\dfrac{12}{4}=3\\\\q=f(3)=2\cdot3^2-12\cdot3+16=18-36+16=-2[/tex]
Postać kanoniczna:
[tex]f(x)=2(x-3)^2-2[/tex]