Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny.
Kąt między ścianą boczną ostrosłupa a płaszczyzną podstawy, to kąt między wysokością ściany bocznej (h₁) i wysokością podstawy (h), prostopadłymi do tej samej krawędzi podstawy (rysunek).
Skoro podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 6 cm, to wysokość podstawy wynosi:
[tex]\bold{h=\frac{6\sqrt3}2=3\sqrt3\ cm}[/tex]
Wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa tworzą z ¹/₃ wysokości podstawy trójkąt prostokątny.
¹/₃h = ¹/₃·3√3 = √3
Stąd:
[tex]\bold{\cos30^o=\dfrac{\frac13h}{h_1}}\\\\\bold{\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{\sqrt3}{h_1}} \\\\\bold{h_1=2\,cm}[/tex]
Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są jednakowymi trójkątami równoramiennymi, czyli pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:
[tex]\bold{P_c=P_p+P_b}\\\\\bold{P_c=\dfrac{a^2\sqrt3}4+3\cdot\dfrac12\cdot a\cdot h_1} \\\\\bold{P_c=\dfrac{6^2\sqrt3}4+3\cdot\dfrac12\cdot6\cdot 2} \\\\\bold{P_c=9\sqrt3+18}\\\\\boxed{\bold{P_c=9(\sqrt3+2)\ cm^2}}[/tex]
Kąt jaki tworzy krawędź boczna z podstawą to kąt między tą krawędzią (b) a wysokością podstawy (h).
Sinus tego kąta to: [tex]\bold{\sin\alpha=\dfrac Hb}[/tex]
Znając podstawę (a = 6 cm) i wysokość (h₁ = 2 cm) trójkąta równoramiennego możemy obliczyć długość krawędzi bocznej:
[tex]\bold{(h_1)^2+(\frac a2)^2=b^2}\\\\\bold{2^2+3^2=b^2}\\\\\bold{b^2=13}\\\\\bold{b=\sqrt{13}\ cm}[/tex]
oraz wysokość ostrosłupa:
[tex]\bold{H^2+(\frac23h)^2=b^2}\\\\\bold{H^2+(\frac23\cdot3\sqrt3)^2=(\sqrt{13})^2}\\\\ \bold{H^2+(2\sqrt3)^2=13}\\\\\bold{H^2+12=13}\\\\\bold{H^2=1}\\\\\bold{H=1\,cm}[/tex]
Stąd:
[tex]\boxed{\bold{\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}}}[/tex]
