1. Zadanie polega na ustaleniu
wzajemnego położenia okręgów
w zależności od parametru a. W tym celu przyjmijmy, że
środki okręgów
to [tex]O_1,O_2[/tex] , a ich
promienie
to [tex]r_1,r_2[/tex]. Korzystamy z własności:
a) okręgi są styczne wewnętrznie, jeżeli [tex]|O_1O_2|=|r_1-r_2|[/tex]
b) okręgi są styczne zewnętrznie, jeżeli [tex]|O_1O_2|=r_1+r_2[/tex]
c) okręgi są wzajemnie wewnętrzne (jeden jest w drugim), jeżeli [tex]|O_1O_2| < |r_1-r_2|[/tex]
d) okręgi są wzajemnie zewnętrzne (jeden obok drugiego), jeżeli [tex]|O_1O_2| > r_1+r_2[/tex]
e) okręgi się przecinają, jeżeli [tex]|r_1-r_2| < |O_1O_2| < r_1+r_2[/tex]
Mamy dane [tex]|O_1O_2|=16[/tex]
[tex]r_1=2a[/tex]
[tex]r_2=1+a[/tex]
Podstawiamy do wzorów powyżej.
a) [tex]16=|2a-1-a|[/tex]
[tex]a-1=16[/tex]
[tex]a=17[/tex]
Okręgi są styczne wewnętrznie dla a=17.
b) [tex]16=2a+1+a[/tex]
[tex]3a+1=16[/tex]
[tex]a=5[/tex]
Okręgi są styczne zewnętrznie dla a=5.
c) [tex]16 < |2a-1-a|[/tex]
[tex]a-1 > 16[/tex]
[tex]a > 17[/tex]
Okręgi są wzajemnie wewnętrzne dla a>17.
d) [tex]16 > 2a+1+a[/tex]
[tex]3a+1 < 16[/tex]
[tex]a < 5[/tex]
Okręgi są wzajemnie zewnętrzne dla a<5.
e) [tex]|2a-1-a| < 16\wedge16 < 2a+1+a[/tex]
[tex]a-1 < 16\wedge 16 < 3a+1[/tex]
[tex]a < 17\wedge a > 5[/tex]
Okręgi się przecinają dla a z przedziału (5,17).
2. Zadanie polega na wykorzystaniu
własności kątów w okręgu:
Kąt środkowy
ma wierzchołek w środku okręgu, jego ramionami są promienie okręgu.
Kąt wpisany
ma wierzchołek na okręgu, jego ramionami są cięciwy okręgu.
Miara
kąta środkowego
jest
dwa razy większa
od miary
kąta wpisanego
opartego
na tym samym łuku
co kąt środkowy.
Dwa kąty wpisane
oparte
na tym samym łuku
mają
równe miary
.
Kąt wpisany
oparty na średnicy
okręgu jest
prosty
.
a)
przerysuj najpierw okrąg do zeszytu dla ułatwienia
Najpierw obliczmy brakujący kąt w samym środku okręgu. Suma tych trzech kątów wynosi 360 stopni.
[tex]360^\circ-130^\circ-70^\circ=160^\circ[/tex] (kąt zaznaczony na czerwono)
Kąt wpisany α jest oparty na łuku CE. Na tym samym łuku jest oparty kąt środkowy [tex]130^\circ[/tex]. Z własności wynika, że kąt α jest dwa razy mniejszy, czyli ma miarę [tex]65^\circ[/tex].
Kąt wpisany β jest oparty na łuku CD. Na tym samym łuku jest oparty kąt środkowy [tex]160^\circ[/tex]. z własności wynika, że kąt β jest dwa razy mniejszy, więc ma miarę [tex]80^\circ[/tex].
Kąt wpisany [tex]\gamma[/tex] jest oparty na łuku DE. Na tym samym łuku jest oparty kąt środkowy [tex]70^\circ[/tex]. Z tego wynika, że kąt [tex]\gamma=35^\circ[/tex].
b)
Najpierw obliczmy brakujący kąt w samym środku okręgu. Suma tych trzech kątów wynosi 360 stopni.
[tex]360^\circ-220^\circ-80^\circ=60^\circ[/tex] (kąt zaznaczony na czerwono)
Kąt wpisany α jest oparty na łuku BC. Na tym samym łuku jest oparty kąt środkowy [tex]60^\circ[/tex]. z tego wynika, że [tex]\alpha =30^\circ[/tex].
Kąt wpisany [tex]\gamma[/tex] jest oparty na łuku AB. Na tym samym łuku jest oparty kąt środkowy o mierze [tex]80^\circ[/tex]. Z tego wynika, że [tex]\gamma=40^\circ[/tex].
ABC to trójkąt, więc miara kąta β to:
[tex]180^\circ-30^\circ-40^\circ=110^\circ[/tex]
c)
Kąt wpisany [tex]\alpha[/tex] jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany o mierze [tex]60^\circ[/tex]. Te kąty będą sobie równe.
Kąt przy wierzchołku R jest oparty na średnicy okręgu, ma więc miarę [tex]90^\circ[/tex]. Kąt [tex]\gamma[/tex] ma miarę [tex]90^\circ-40^\circ=50^\circ[/tex]
MPR to trójkąt, więc kąt β ma miarę [tex]180^\circ-60^\circ-50^\circ=70^\circ[/tex]
Kąt między styczną a cięciwą
okręgu jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku wyznaczonemu przez końce cięciwy.
d)
AEF to trójkąt, więc kąt α ma miarę [tex]180^\circ-35^\circ-70^\circ=75^\circ[/tex]
e)
Kąt wpisany przy wierzchołku M jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany przy wierzchołku R, są one równe, każdy ma miarę [tex]40^\circ[/tex].
ANM to trójkąt, więc kąt α ma miarę [tex]180^\circ-80^\circ-40^\circ=60^\circ[/tex]
f)
Kąt wpisany przy wierzchołku A (na czerwono) jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany przy wierzchołku Q. Są one równe i każdy ma miarę [tex]30^\circ[/tex].
ATU to trójkąt, więc kąt α ma miarę [tex]180^\circ-30^\circ-112^\circ=38^\circ[/tex]
