Odpowiedź:
189
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy następujące wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy r:
[tex]a_{1}[/tex] = -3, [tex]a_{2}[/tex] = -3 + r, [tex]a_{3}[/tex] = -3 + 2r, [tex]a_{6}[/tex] -3 + 5r
Wiemy, że drugi, trzeci i szósty wyraz tworzą ciąg geometryczny. Wykorzystujemy zależność między trzema wyrazami ciągu geometrycznego taką, że wyraz środkowy podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. Możemy więc zapisać:
(2r - 3)² = (r - 3)( 5r - 3) po wymnożeniu mamy:
4r² - 12 r + 9 = 5r² -3r - 15r + 9 wszystko na jedną stronę
4r² - 12r + 9 - 5r² + 3r + 15r - 9 = 0 redukcja
6r - r² = 0 wyłączam r przed nawias
r(6 - r) = 0
r = 0 lub r = 6 wiemy, że ciąg jest rosnący więc r = 0 odrzucamy
Obliczam, którym wyrazem ciągu jest wyraz równy 45:
[tex]a_{n}[/tex] = -3 + (n - 1)r
-3 + (n-1)r = 45
-3 + (n-1) · 6 = 45
6n - 6 = 45 + 3
6n = 54/ : 6
n = 9 czyli [tex]a_{9}[/tex] = 45
Obliczam sumę ze wzoru:
[tex]S_{n}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] · ([tex]a_{1}[/tex] + [tex]a_{9}[/tex]) · n = [tex]\frac{1}{2}[/tex] (-3 + 45) · 9 = 21 · 9 = 189