Witaj :)
Mamy do rozwiązania równanie wielomianowe postaci:
[tex]5x^3-2x^2-6x-20=0[/tex]
Jest to równanie wielomianowe stopnia trzeciego.
Niech:
[tex]W(x)=5x^3-2x^2-6x-20[/tex]
W pierwszej kolejności musimy nasz wielomian rozłożyć na czynniki. Skorzystamy najpierw z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu.
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu: "Jeśli dany mamy wielomian W(x) o wszystkich współczynnikach całkowitych, wówczas pierwiastek tego wielomianu jest dzielnikiem jego wyrazu wolnego."
Wyrazem wolnym naszego wielomianu jest liczba -20. Szukamy jej dzielników:
[tex]Dzielniki\ liczby\ -20: \{-1;1;-2;2-4;4;-5;5;-10;10;-20;20\}[/tex]
Sprawdzamy teraz, który z dzielników wyzeruje nam nasz wielomian:
[tex]W(-1)=5\cdot (-1)^3-2\cdot (-1)^2-6\cdot(-1)-20=-21\neq 0\\W(1)=5\cdot 1^3-2\cdot 1^2-6\cdot 1-20=-23\neq 0\\W(-2)=5\cdot (-2)^3-2\cdot (-2)^2-6\cdot (-1)-20=-56\neq 0\\W(2)=5\cdot 2^3-2\cdot 2^2-6\cdot 2-20=0\\W(-4)=5\cdot(-4)^3-2\cdot (-4)^2-6\cdot (-4)-20=-348\neq 0\\W(4)=5\cdot 4^3-2\cdot4^2-6\cdot4-20=244\neq 0\\W(-5)=5\cdot(-5)^3-2\cdot(-5)^2-6\cdot(-6)-20=-665\neq 0\\W(5)=5\cdot5^3-2\cdot 5^2-6\cdot 5-20=525\neq 0\\W(-10)=5\cdot(-10)^3-2\cdot(-10)^2-6\cdot(-10)-20=-5160\neq 0[/tex]
[tex]W(10)=5\cdot10^3-2\cdot10^2-6\cdot10-20=4720\neq 0\\W(-20)=5\cdot (-20)^3-2\cdot(-20)^2-6\cdot (-20)-20=-40700\neq0\\ W(20)=5\cdot20^3-2\cdot20^2-6\cdot20-20=39060\neq 0[/tex]
Z powyższych obliczeń zauważamy, że liczba 2 zeruje nam nasz wielomian, więc jest ona jego pierwiastkiem. Teraz możemy skorzystać z tw. Bézouta.
Twierdzenie Bézouta: "Wielomian W(x) dzieli się przez dwumian (x-a) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest jego pierwiastkiem".
Z poprzednich obliczeń wiemy, że liczbą zerującą nasz wielomian W(x) jest 2. Możemy wówczas zapisać, że nasz wielomian jest podzielny przez dwumian (x-2). Dzielenie tego wielomianu wykonamy za pomocą schematu Hornera (Dzielenie za pomocą schematu Hornera w załączniku).
Po wykonaniu dzielenia Wielomianu W(x) przez dwumian (x-2) otrzymujemy:
[tex](5x^3-2x^2-6x-20):(x-2)=5x^2+8x+10[/tex]
Takim oto sposobem rozłożyliśmy nasz wielomian na czynniki i możemy zapisać go w postaci iloczynowej:
[tex]W(x)=5x^3-2x^2-6x-20=(x-2)(5x^2+8x+10)[/tex]
Możemy teraz w prosty sposób rozwiązać to równanie:
[tex](x-2)(5x^2+8x+10)=0\iff x-2=0\ \ \vee\ \ 5x^2+8x+10=0\\\\x-2=0\implies x=2\\\\5x^2+8x+10=0\\a=5\\b=8\\c=10 \\\Delta =b^2-4ac=8^2-4\cdot 5\cdot 10=64-200=-136<0 \ brak\ rozwiazan\ w\ \mathbb R\\x\notin \mathbb R[/tex]
Wobec czego rozwiązaniem naszego równania jest tylko liczba 2.
ODP.: [tex]\boxed{x\in\{2\}}[/tex]
