Przy równaniach wymiernych na początku ustalamy dziedzinę równania (mianownik nie może być zerowy).
Gdy mamy wyrażenie wymierne równe 0, to jest wtedy, gdy licznik wyrażenia jest równy 0.
[tex]\dfrac{x(x-5)\left(x+\frac{1}{3}\right)}{(3x+1)(x+2)}=0[/tex]
[tex]\mathbb{D}:(3x+1)(x+2)\neq0\iff3x+1\neq0\ \wedge\ x+2\neq0\\\\x\neq-\dfrac{1}{3}\ \wedge\ x\neq-2\\\\\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\left\{-2,\ -\dfrac{1}{3}\right\}}[/tex]
[tex]\dfrac{x(x-5)\left(x+\frac{1}{3}\right)}{(3x+1)(x+2)}=0\iff x(x-5)\left(x+\dfrac{1}{3}\right)=0\iff \\x=0\ \vee\ x-5=0\ \vee\ x+\dfrac{1}{3}=0\\\\x=0\in\mathbb{D}\ \vee\ x=5\in\mathbb{D} \ \vee\ x=-\dfrac{1}{3}\notin\mathbb{D}[/tex]
[tex]\huge\boxed{x=0\ \vee\ x=5}[/tex]
[tex]\dfrac{x(x+2)(x+4)}{x(x-2)(x+4)}=0[/tex]
[tex]\mathbb{D}: x(x-2)(x+4)\neq0\iff x\neq0\ \wedge\ x-2\neq0\ \wedge\ x+4\neq0\\\\x\neq0\ \wedge\ x\neq2\ \wedge\ x\neq-4\\\\\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-4,\ 0,\ 2\}}[/tex]
[tex]\dfrac{x(x+2)(x+4)}{x(x-2)(x+4)}=0\iff x(x+2)(x+4)=0\iff\\\\x=0\ \vee\ x+2=0\ \vee\ x+4=0\\\\x=0\notin\mathbb{D}\ \vee\ x=-2\in\mathbb{D}\ \vee\ x=-4\notin\mathbb{D}\\\\\huge\boxed{x=-2}[/tex]
[tex]\dfrac{x^2(x-3)(x+2)}{x(x+2)(4-x)}=0[/tex]
[tex]\mathbb{D}:x(x+2)(4-x)\neq0\iff x\neq0\ \wedge\ x+2\neq0\ \wedge\ 4-x\neq0\\\\x\neq0\ \wedge\ x\neq-2\ \wedge\ x\neq4\\\\\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-2,\ 0,\ 4\}}[/tex]
[tex]\dfrac{x^2(x-3)(x+2)}{x(x+2)(4-x)}=0\iff x^2(x-3)(x+2)=0\iff\\\\x^2=0\ \vee\ x-3=0\ \vee\ x+2=0\\\\x=0\notin\mathbb{D}\ \vee\ x=3\in\mathbb{D}\ \vee\ x=-2\notin\mathbb{D}\\\\\huge\boxed{x=3}[/tex]
[tex]\dfrac{(4x-9)^2(2x-3)}{4x^2-9}=0[/tex]
[tex]\mathbb{D}:4x^2-9\neq0\to4x^2\neq9\to x^2=\dfrac{9}{4}\to x\neq\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\to x\neq\pm\dfrac{3}{2}\\\\\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2}\right\}}[/tex]
[tex]\dfrac{(4x-9)^2(2x-3)}{4x^2-9}=0\iff(4x-9)^2(2x-3)=0\iff\\\\(4x-9)^2=0\ \vee\ 2x-3=0\\\\x=\dfrac{9}{4}\in\mathbb{D}\ \vee\ x=\dfrac{3}{2}\notin\mathbb{D}\\\\\huge\boxed{x=\dfrac{9}{4}}[/tex]