Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają jednakową długość, zatem powierzchnię boczną tworzą cztery identyczne (przystające) trójkąty równoboczne.
[tex]P_{b} = 4\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = a^{2}\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\\\\a^{2}\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \ \ /:\sqrt{3}\\\\a^{2} = 36\\\\a = \sqrt{36}\\\\\underline{a = 6}[/tex]
Wysokość trójkąta o boku a:
[tex]h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\h = \frac{6\sqrt{3}}{2}\\\\\underline{h = 3\sqrt{3}}[/tex]
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych H (wyskość ostrosłupa, a/2 i przeciwprostokątnej h (wysokość ściany bocznej). Wysokość ostrosłupa H obliczamy z tw. Pitagorasa:
[tex]H^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = h^{2}\\\\\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3\\\\H^{2} + 3^{2} = (3\sqrt{3})^{2}\\\\H^{2} + 9 = 27\\\\H^{2} = 27-9\\\\H^{2} = 18\\\\H = \sqrt{18} = \sqrt{9\cdot2}\\\\\boxed{H = 3\sqrt{2}}[/tex]
Odp. Wysokość tego ostrosłupa jest równa 3√2.
