Stereometria (V i Pc graniastosłupów).
Graniastosłup - bryła posiadająca dwie przystające i równoległe podstawy, które są wielokątami. Ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prosty - graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstaw.
Graniastosłup prawidłowy - graniastosłup prosty, którego podstawami są wielokąty foremne.
Objętość graniastosłupa:
[tex]V=P_p\cdot H[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]H[/tex] - wysokość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
[tex]P_c=2P_p+P_b[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]P_b[/tex] - pole powierzchni bocznej
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego możemy policzyć ze wzoru:
[tex]P_b=L_p\cdot H[/tex]
[tex]L_p[/tex] - obwód podstawy
a) Graniastosłup prawidłowy trójkątny.
Podstawą jest trójkąt równoboczny. Pole trójkąta równobocznego o boku a obliczamy ze wzoru:
[tex]P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Podstawiamy a = 2cm:
[tex]P_p=\dfrac{2^2\sqrt3}{4}\\\\\boxed{P_p=\sqrt3(cm^2)}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni bocznej:
[tex]L_p=3\cdot2cm\\\\\boxed{L_p=6cm}[/tex]
[tex]P_b=6\cdot5\\\\\boxed{P_b=30(cm^2)}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2\cdot\sqrt3+30\\\\\huge\boxed{P_c=(30+2\sqrt3)cm^2}[/tex]
Objętość:
[tex]V=\sqrt3\cdot5\\\\\huge\boxed{V=5\sqrt3\ cm^3}[/tex]
b) Graniastosłup prosty pięciokątny.
Podstawą jest pięciokąt. Aby obliczyć jego pole musimy podzielić go na trójkąt równoramienny i prostokąt.
Trójkąt o podstawie długości 8cm i wysokości długości 3cm.
Prostokąt o wymiarach 8cm × 2cm.
[tex]P_p=\dfrac{8\cdot3}{2}+8\cdot2\\\\\boxed{P_p=28cm^2}[/tex]
Do powierzchni bocznej brakuje nam ramion trójkąta z pięciokąta. Skorzystamy tu z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
[tex]x^2=4^2+3^2\\x^2=16+9\\x^2=25\\x=\sqrT{25}\\x=\sqrt{25}\\\boxed{x=5cm}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni bocznej:
[tex]L_p=8+2\cdot2+2\cdot5\\\\\boxed{L_p=22cm}\\\\P_b=22\cdot10\\\\\boxed{P_b=220cm^2}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2\cdot28+220\\\\\huge\boxed{P_c=276cm^2}[/tex]
Objętość:
[tex]V=28\cdot10\\\\\huge\boxed{V=280cm^3}[/tex]
c) Graniastosłup prosty pięciokątny.
Podstawą jest prostokąt, którego możemy podzielić na prostokąt i kwadrat o wymiarach 6cm × 2cm i 2cm × 2cm.
[tex]P_p=6\cdot2+2^2\\\\\boxed{P_p=16cm^2}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni bocznej:
[tex]L_p=4+2+2+4+2+6\\\\\boxed{L_p=20cm}\\\\P_b=20\cdot7\\\\\boxed{P_b=140cm^2}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2\cdot 16+140\\\\\huge\boxed{P_c=172cm^2}[/tex]
Objętość:
[tex]V=16\cdot7\\\\\huge\boxed{V=112cm^3}[/tex]
