Funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą (przy a>0) lub największą (przy a<0) na wierzchołku.
Skoro dana funkcja dla argumentu 2 osiąga wartość najmniejszą równą -5, to znaczy, że ma wierzchołek w punkcie (2, -5) {i a>0}
W = (2, -5) ⇒ p = 2, q = -5
Skoro znamy wierzchołek, to możemy zapisać funkcję w postaci kanonicznej (z nieznanym a):
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q\\\\f(x)=a(x-2)^2-5[/tex]
Skoro miejscem zerowym jest x = 5, to mamy:
[tex]0=a(5-2)^2-5\\\\0=a(5-2)^2-5\\\\0=a\cdot9-5\\\\9a=5\qquad/:9\\\\a=\frac59[/tex]
Zatem wzór funkcji w postaci kanonicznej to:
[tex]f(x)=\frac59(x-2)^2-5[/tex]
Aby zamienić wzór na postać ogólną, wystarczy wykonać działania:
[tex]f(x)=\frac59(x-2)^2-5=f(x)=\frac59(x^2-4x+4)-5=\frac59x^2-\frac{20}9x+\frac{20}9-\frac{45}9\\\\\boxed{\bold {\,f(x)=\frac59x^2-\frac{20}9x-\frac{25}9\ }}[/tex]
Żeby zapisać wzór w postaci iloczynowej, potrzebujemy drugiego miejsca zerowego:
Możemy je wyznaczyć na kilka sposobów, ale najpopularniejszą metodą wśród uczniów jest wyznaczenie ich ze wzoru ogólnego przy pomocy wyróżnika równania kwadratowego, czyli Delty:
[tex]f(x)=\frac59x^2-\frac{20}9x-\frac{25}9\quad \implies\quad a=\frac{5}9\,,\quad b=-\frac{20}9\,,\quad c=-\frac{25}9\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-\frac{20}9)^2-4\cdot\frac{5}9\cdot(-\frac{25}9)=\frac{400}{81}+\frac{500}{81}=\frac{900}{81}=\frac{100}9\\\\\sqrt\Delta=\frac{10}3\\\\x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\ ,\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{\frac{20}9-\frac{10}3}{2\cdot\frac59}=\dfrac{\frac{20}9-\frac{30}9}{\frac{10}9}=-\frac{10}9\cdot\frac9{10}=-1\\\\ x_2=\dfrac{\frac{20}9+\frac{10}3}{2\cdot\frac59}=\dfrac{\frac{20}9+\frac{30}9}{\frac{10}9}=\frac{50}9\cdot\frac9{10}=5[/tex]
Zatem postać iloczynowa danej funkcji to:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\\\\boxed{\bold{\,f(x)=\frac59(x+1)(x-5)\,}}[/tex]
{Wbrew obiegowej opinii, Delta nie zawsze jest najlepszym sposobem obliczania miejsc zerowych. Tutaj dużo łatwiej byłoby obliczyć je z postaci kanonicznej:
[tex]\frac59(x-2)^2-5=0\\\\\frac59(x-2)^2=5\qquad/\cdot\frac95\\\\(x-2)^2=9\\\\ x-2=3\quad\vee\quad x-2=-3\\{}\quad x = 5\qquad\vee\quad\ x=-1[/tex]
Ale co kto woli :) }